기하학 일반 1차 수시고사(2011. 03. 22)

1. 다음은 유클리드가 그의 저서 ‘원론(the Elements)’에서 제시한 평면기하학공리계이다.

	유클리드의 기하학 공리계
공리1. 서로 다른 임의의 두 점을 지나는 직선은 있고 하나뿐이다. 공리2. 임의의 직선 안에 유한선분을 연속하게 잡을 수 있다.(직선은 양 쪽으로 무한하다.) 공리3. 임의의 점을 중심으로 임의의 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다. 공리4. 모든 직각은 서로 같다. 공리5. 두 직선에 동시에 대리는 한 직선이 같은 쪽에서 2직각보다 작은 내부각을 이룬다면, 두 직선이 무한대로 연결될 때 각이 2직각보다 작은 쪽에서 만난다.

위에서 제시한 유클리드 공리계는 완전하지 못하다. 유클리드의 공리계가 완전하지 못한 이유를 위의 공리계로 참•거짓을 밝힐 수 없는 명제를 3개 이상 제시하여 설명하여라.

2. 점, 선, 위에 있다, 사이, 합동 등의 용어는 정의하지 않고 사용하는 용어, 즉 무정의 용어이다. 점, 선 등이 무정의 용어인 이유를 설명하고, 대표적인 평면 유클리드 기하학의 모델인

점: 의 원소

직선: , 와 는 동시에 0이 되지 않는 실수

로 만들어진 모델 이외의 힐버트의 결합공리군과 순서공리군의 공리 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ을 만족하는 모델을 제시하여라.(주어진 모델에서 점과 직선, 결합되어 있다, 을 구체적으로 제시하여야 한다. )

3. 다음의 결합공리들은 점과 직선과의 관계를 규명해 주는 공리들이다.

	힐버트의 결합공리군
결합공리1. 임의의 두 점 에 대하여, 이면, 와 결합되어 있는 직선 이 유일하게 존재한다. 결합공리2. 임의의 직선 에 대하여, 과 결합되어 있는 점이 적어도 두개 존재한다. 결합공리3. 어떤 직선도 동시에 결합되어 있지 않은 서로 다른 세 점이 존재한다.

3.1 위 공리군을 만족하는 기하학의 모델 중 점의 갯수가 최소인 모델을 제시하여라.

3.2 위 결합공리군의 두번째 공리를 다음 공리로 대체한다.

결합공리2‘. 임의의 직선 에 대하여, 과 결합되어 있는 점이 적어도 세 개 존재한다.

이 공리를 원래의 공리2와 바꾸어 새로 만든 공리군은 원래의 결합공리군과 동치인가?

4. 다음은 힐버트가 제시한 유클리드 기하학의 공리계 중 순서공리군이다.

	힐버트의 순서공리군
순서공리Ⅰ. 이면 이다. 순서공리Ⅱ. 서로 다른 두 점 에 대하여 직선 위에 인 서로 다른 세 점 가 존재한다. 순서공리Ⅲ. 가 한 직선 위에 있는 서로 다른 세 점이면 중 오직 하나만 성립한다. 순서공리Ⅳ(분리공리). 한직선 위에 있지 않은 세 점 에 대하여 (1) 점 와 점 가 직선 에 대하여 같은 쪽에 있고 점 와 점 가 에 대하여 같은 쪽에 있으면 점 와 점 는 에 관하여 같은 쪽에 있다. (2) 점 와 점 가 직선 에 대하여 반대쪽에 있고 점 와 점 가 에 대하여 반대쪽에 있으면 점 와 점 는 에 관하여 같은 쪽에 있다.

주. 정의(같은 쪽에 있다) 직선 과 직선 밖에 있는 서로 다른 두 점 에 대하여 선분 가 직선 과 만나지 않을 때, 점 와 점 는 직선 에 대하여 같은 쪽에 있다고 한다.

정의(반평면) 점 가 직선 위에 있지 않을 때, 직선 에 대하여 점 와 같은 쪽에 있는 점 전체의 집합을 을 경계로 하고 를 포함하는 반평면이라 하고 라 표기한다.

4.1 순서공리Ⅳ를 다음의 명제로 바꾸어 놓고자 한다.

정리. 임의의 직선은 정확히 두 반평면의 경계이고 이들 두 반평면은 어떤 공유점도 갖지 않는다.

순서공리Ⅳ를 위 명제로 바꾸어서 새로 얻은 공리계가 원래의 순서공리와 동치인가에 대하여 논하여라.

4.2 순서공리Ⅳ가 없이 다음 명제가 참임을 보일 수 있는 가에 관하여 논하여라. (순서공리 Ⅳ가 없으면 다음 명제가 성립함을 보일 수 없다면, 순서공리 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ이 성립하면서 다음 정리가 성립하지 않는 예를 제시하여라.)

정리. 이고 이면 이고 이다.

5. 힐버트의 유클리드 기하학 공리계에서 합동공리군의 첫번째 공리는 다음과 같다.

합동공리Ⅰ. 서로 다른 두 점 와 점 에 대하여 점 으로부터 방사되는 반직선 위에 이고 인 점 이 유일하게 존재한다.

5.1 합동공리Ⅰ과 관련되어 있는 고전 유클리드 기하학의 작도문제로 다음 문제를 생각할 수 있다.

임의의 선분 와 반직선 에 대하여 반직선 위의 점 를 와 같은 길이를 갖도록 잡을 수 있다.

눈금 없는 자와 거리를 옮길 수 없는 컴파스를 이용하여 점 를 작도하는 방법을 설명하여라.

5.2 작도문제에 있어서 “눈금이 없는 자와 스프링이 달리지 않은 컴파스(거리를 옮길 수 있는 컴파스)”로 작도하는 것과 “ 눈금이 없는 자와 스프링이 달린 컴파스(거리를 옮길 수 없는 컴파스)”로 작도하는 것이 같음을 설명하여라.