대학수학 3차 퀴즈(2011. 04. 04)

1. 다음은 합성함수 미분법을 사용하여 이계도함수에 관한 공식을 유도하는 과정이다. 괄호에 적합한 내용을 제시하여라. (각 3,3,4점)

이고 이며 와 는 두 번 미분가능 할 때, 이다.

2. 다음을 구하여라. (10점)

2-1. 에서 함수 의 선형근사(3점)와 이를 이용한 의 근삿값(4점)

2-2. 함수 의 미분(differential)(3점)

3. 다음은 방정식 (*) 은 ‘축이 좌표축과 평행하지 않은 타원’임을 보이는 과정이다. 빈 칸에 적당한 것을 제시하여라. (10점)

증명. 직교좌표평면 위의 점 를 원점을 중심으로 시계반대방향으로 만큼 회전시킨 점의 좌표는 이다. 의 역행렬은 ( (ㄱ) )이므로 위 식은 다시 로 쓸 수 있다.

방정식 (*)를 행렬을 이용해 다시 표현하면

이다.

----(**)

이다. 따라서 인 경우 즉, 인 경우 (**)는

이므로 방정식 (*)는 좌표계에서 즉 타원의 방정식임을 알 수 있다. 따라서 (*)는 좌표계의 타원 을 원점을 중심으로 시계반대방향으로 ( (ㄷ) )만큼 회전시킨 타원이다. ∎

4. 다음 각 경우에 을 계산하여라. (각 2.5점)

4.1 4.2

4.3 4.4

5. 실수의 연산중에서 처음 어려움을 격는 것은 “음수음수 = 양수”를 이해하는 것이다. 다음은 “음수음수 = 양수”를 증명하는 과정이다. 빈 칸에 적당한 것을 제시하여라.(10점)

증명.

1단계) 0 실수 = 실수 0 = 0 (주. 여기서 은 덧셈에 관한 항등원으로 이해한다.)

증명) 결합법칙에 의하여 등식 (*)이 성립한다. 등식 (*)의 좌․우변에 의 덧셈에 관한 역원 를 더하면,

이다.

2단계) (주. 여기서 은 곱셈에 관한 항등원으로 이해한다.)

증명.

이다. 좌․우변에 ( (ㄴ) )하면

이다.

3단계) 임의 실수 에 대하여 의 덧셈에 관한 역원 는 이다.

증명. 이다. 좌․우변에 의 덧셈에 관한 역원 를 더하면,

이다.

4단계) 음수 음수 = 양수

증명. 를 임의의 음수라 하자.

이다. 는 두 양수의 곱이므로 ( (ㄹ) )이다. 따라서 는 양수이다. ∎

대학수학 3차 퀴즈(2011. 04. 04) 답안지

학번		점 수
이름

1번 문항	2번 문항	3번 문항
(ㄱ)	2-1.	(ㄱ)
(ㄴ)		(ㄴ)
(ㄷ)	2-2.	(ㄷ)
4번 문항	5번 문항
4.1	(ㄱ)
4.2	(ㄴ)
4.3	(ㄷ)
4.4	(ㄹ)