대학수학1 중간고사(2011. 04. 21)

1. 극한에 관한 다음 물음에 답하여라.(20점)

1.1 극한에 관한 엄밀한 정의(법)를 사용하여 다음의 정리

정리. 이고 일 때, 이다.

를 증명하여라.

1.2 다음 명제는 일반적으로 참이 아니다. 명제가 성립하지 않는 예를 제시하여라.

명제. , 일 때, 이다.

2. 함수 에 대한 다음 물음에 답하여라.(20점)

2.1 는 원점에서 미분가능함을 보여라.

2.2 의 도함수를 구하여라.

2.3 의 도함수는 에서 연속이 아님을 보여라.

2.4 위 예를 일반화 하여 번 미분가능 이지만 계 도함수는 연속이 아닌 함수의 예를 제시하여라.

3. 다음 물음에 답하여라. (20점)

3-1 미분가능한 함수 , 는 단조증가 함수임을 보여라.

3-2 다음은 Cauchy의 평균값정리이다.

정리. 과 는 연속함수이고 열린구간 에서 미분가능한 함수이다. 인 경우 를 만족하는 점 가 존재한다.

이 정리는 보조함수 과 Rolle의 정리를 이용하여 증명할 수 있다. Cauchy의 평균값정리를 증명하여라.

4. 쌍곡함수 , 에 관한 다음 등식을 증명하여라. (20점)

4.1

4.2 (단, 은 임의의 자연수)

5. 다음은 유계인 실함수 의 적분가능성을 엄밀히 정의하는 과정이다. (20점)

를 폐구간 의 분할(partition)이라 할 때 리이만 하합(Riemann lower sum)과 리이만 상합(Riemann upper sum)은 각각 , 로 정의한다.(단, 여기서 이고 이다. 의 상적분(upper integral)과 하적분(lower integral)을 각각 집합 의 최대하계 집합 의 최소상계 라 정의한다. (주. 유계함수의 상적분과 하적분은 항상 존재한다.) 인 경우 함수 를 (리이만)적분가능하다 부르고 이 때 값 = 을 구간 에서 의 정적분값이라 한다.

위 정의에 따라 함수 가 적분가능하지 않음을 보여라.(20점)