대학수학 연습1 중간고사(2011. 04. 18)

1. 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 함수 의 연속성에 관하여 논하자 한다. 물음에 답하여라.(40점)

1.1 다음은 가 일 때 연속임을 보이는 과정이다. 빈칸에 적당한 내용은?(각 5점)

을 임의의 양수라 하자. 가 ( (ㄱ) )인 경우 이고 가 ( (ㄴ) )인 경우 이므로 이라 하면 이므로 함수 는 일 때 연속이다.

1.2 다음은 가 일 때 불연속임을 보이는 과정이다. 증명의 나머지를 완성하여라.(20점)

이라 하고 라 하자. 을 임의의 양수라 하자. 1) 가 무리수인 경우; 를 만족하는 중에서 두 조건 i) 는 유리수, ii) 를 만족하는 를 생각하자. 이므로 에 대하여 ‘ ’를 만족하는 가 존재하지 않는다. 2) 가 유리수인 경우;

2. 다음을 구하여라. (20점)

2-1 2-2

2-3 2-4

3. 다음 등식을 증명하여라. (20점)

4. 다음을 구하여라. (20점)

4.1 일 때

4.2 일 때

4.3 타원 에 있는 점 중에서 그 점에서의 접선의 기울기가 1인 점

4.4 일 때 에 대하여 의 값