다변수해석학 중간고사재시3(2011. 05. 20)

1. 행렬 에 대하여 다음 물음에 답하여라. (30점)

1.1 행렬 의 고유값 를 구하여라. (10점)

1.2 를 만족하는 행렬 를 구하여라. (10점)

1.3 이차곡선의 의 표준형을 구하여라. (10점)

2. 다음을 구하여라. (30점)

2.1 의 합동변환 , 의 불변부분공간

(10점)

2.2 이변수 함수 의 영역 에서의 최댓값 (10점)

(주. 쌍곡함수는 로 정의된다.)

2.3 이변수 함수 의 점 에서 변화율이 최대가 되는 방향과 그 방향으로의 변화율 (10점)

3. 에 놓인 곡선들에 대한 다음 물음에 답하여라. (40점)

3.1 양의 곡률을 갖는 3차원 유클리드 공간 에 놓인 정칙곡선 의 비틀림 이 모든 점에서 0이면 는 평면곡선임을 보여라. (20점)

3.2 곡선 의 점 에서의 곡률과 비틀림을 계산하여라. (20점)

4. 에 놓인 곡면 에 관하여 다음을 구하여라. (20점)

4.1 직선 과 사이의 거리 (10점)

4.2 위에서 정의된 함수 의 최댓값 (10점)

5. 다음을 계산하여라. (30점)

5.1 영역 위에서 함수 의 적분 (10점)

5.2 영역 위에서 함수 의 적분( Hint. , 로 치환..) (10점)

5.3 곡선 위에서 선적분 (10점)

(단, 곡선 는 시계반대방향으로 생각한다.)