< 해석학 퀴즈 시험 1차 >

문제1. 함수의 극한의 정의와 관련된 다음 물음에 답하여라.

1-1. 다음 에 관한 명제의 부정을 구하여라. (2점)

s.t.

1-2. 의 극한값이 존재하지 않음을 증명하기 위하여 다음 방법을 쓸 수 있다.

두 수열 , , , , 을 제시한다.

위 조건을 만족하는 두 수열 , 을 제시하여라. (3점)

문제2. 다음은 극한 이 존재한다면 그 극한값은 유일함을 보는 과정이다. 빈칸에 적당한 내용은? (2,2,1점)

, 이라고 하자. 임을 보이기 위하여 다음 주장을 증명하면 충분하다. 주장) 임의의 양수 에 대하여 이다. 증명. 을 ( (ㄱ) )라 하자. 그러면, , 이므로 s.t. s.t. 이다. 따라서, . ■

문제3. 다음은 조임정리(샌드위치정리)와 관련된 물음이다. 물음에 답하여라.

3-1 조임정리의 내용을 아래의 표와 같이 정리할 수 있다. 빈 칸에 적당한 내용? (2점)

	조건		결론
조임정리	(ㄱ)
	(ㄴ)

3-2. 의 극한값을 구하여라. (1점)

3-3. 함수 이 에서 연속임을 보여라.(2점)

문제4. 다음은 임의의 수열 , 에 대하여, 의 증명이다. 빈 곳에 적당한 내용은?(1,2,2점)

증명. 귀류법을 이용하여 증명한다. ( (ㄱ) )이라고 하자. 그러면, s.t. , s.t. 이다. 그러면, 일 때 인 이 존재하고, 일 때 인 이 존재한다. 이와 같이 잡은 수열 은 이므로, 이지만, 이다.▐

문제5. 두 연속함수 에 대한 다음 조건 중 를 말해 줄 수 있는 조건을 모두 찾아라. (5점)

ㄱ. ㄴ.

ㄷ. ㄹ.

ㅁ. 는 차 다항함수(polynomial function)이고 개의 서로 다른 점에서 의 함숫값이 같다.

문제6. 유리수들로 이루어진 수열 , (기약분수)이 무리수 로 수렴한다면 (법을 이용하여) 임을 보여라. (10점)

문제7. 함수열 이 으로 정의되어 있을 때,

임을 보여라.

문제8. 다음 명제의 참·거짓에 대하여 논하여라.(10점)

서로 소인 실수의 두 부분집합 , 에서 정의된 두 연속함수 , 에 대하여 함수 , 는 연속이다.

해석학 1차 퀴즈 답안지

학번: 이름:

1-1
1-2
2	(ㄱ)		(ㄴ)
3-1	(ㄱ)		(ㄴ)
3-2
4	(ㄱ)		(ㄴ)
4	(ㄷ)		5
3-3
6
7
8