< 해석학 퀴즈 시험 2차 >

문제1. 임의의 세 연속함수 에 대하여 다음 물음에 답하여라.(2,4점)

1-1. 라 할 때 를 절댓값 함수를 이용하여 간단한 식으로 표현하여라.

1-2. 함수 (즉, 중 두 번째로 큰 수)라 할 때 를 절댓값 함수를 이용하여 간단한 식으로 표현하고, 가 연속임을 설명하여라.

문제2. 다음은 두 연속함수 의 합성함수 가 연속임을 법으로 보이는 과정이다. 빈 칸에 적당한 내용은? (2,3점)

을 임의의 양수라 하자. 이 연속이므로 적당한 양수 이 존재하여 이다. 이 연속이므로 적당한 양수 가 존재하여 이 성립한다. 따라서 ■

문제3. 함수 가 다음과 같이 정의되었을 때, 물음에 답하여라.(3,4점)

3-1. 가 정의역 내에서 최댓값, 최솟값을 갖는가?

3-2. 가 연속인 점들을 모두 구하여라.

문제4. 다음은 정리 ‘’ 의 증명이다. 빈 곳에 적당한 내용은?(2,2,3점)

증명) 을 의 임의의 ( (ㄱ) )이라 하자. 그러면, 은 의 피복이 되고, 가 연속이므로 임의의 에 대하여 는 열린집합이 된다. 따라서, 는 의 ( (ㄱ) )이 되고, 의 ( (ㄴ) )성에 의해서 ( (ㄷ) ) 을 갖는다. 그러면, 는 의 ( (ㄷ) )이 된다. 따라서 는 긴밀집합이다.

문제5. 다음은 중간값 정리의 증명이다. 빈 칸에 적당한 내용은? (2,3점)

정리. 증명) 임의의 실수 , 에 대하여 집합 은 유계인 집합이다. 따라서 실수의 완비성 공리로 부터 최소상계 가 존재한다. 주장: (귀류법을 사용한다.) ( (ㄱ) )이라 가정하자. 양수 을 이라 두면, 가 연속이라는 가정에 의하여 적당한 양수 , 가 존재하여 (*) , 을 만족한다.(주. 이므로 이다. 따라서 위에서 잡은 를 보다 작게 택한다.) 위 명제 (*)를 이용하면 점 에 대하여 이다. 이것은 가 ( (ㄴ) )이라는 것에 모순된다.

문제6. 다음은 연속함수 가 임의의 실수 에 대하여 를 만족한다 할 때, 를 구체적으로 찾아보는 문제에 대한 하나의 답안이다. 그러나 이 답안은 부족한 점이 있다. 무엇이 부족한 가를 논하여라. (7점)

임의의 자연수 에 대하여 이 성립하므로 이다. 그러므로 임의의 유리수 (기약분수 표현)에 대하여 이다. 는 연속함수이므로 모든 실수 에 대하여 즉, 는 지수함수이다.

문제7. 다음은 연속함수 가 단사함수이고, 이면, 는 증가함수임을 보이는 과정이다. 증명의 부족한 부분에 대하여 논하여라.(7점)

증명(귀류법을 이용한다.) 적당한 두 수 에 대하여 이지만 라 하자. 그러면 중간값 정리에 의하여 구간 에서 함숫값이 이 되는 점이 존재한다. 이는 가 단사함수임에 모순된다.

문제8. 라 하면 는 일대일이고 연속인 함수이다. 의 역사상 , 가 연속함수가 아님을 법을 이용하여 알아보아라.(6점)

문제9. 이라고 할 때 다음 물음에 답하여라. (보너스)

9-1. 임의의 에 대하여 와 사이의 거리를 라 정의 하고자 한다. 가 의 거리함수가 될 수 있음을 보여라.

9-2. 위에서 정의한 의 거리 를 이용하여 ‘함수가 에서 연속이다.’의 엄밀한 정의를 서술하여라.

9-3. 의 거리 를 이용하여 다음 집합이 개집합인지 판별하여라.

해석학 2차 퀴즈 답안지

학번: 이름:

1-1
1-2
2	(ㄱ)		(ㄴ)
3	3-1		3-2
4	(ㄱ)		(ㄴ)
4	(ㄷ)
5	(ㄱ)		(ㄴ)
6
7
8

9번은 뒷장에 풀 것.