해석학 6차 퀴즈 시험지

1. 함수가 에서 미분 가능하고, 일 때 극한 을 구하는 문제에서 로피탈 정리의 역이 성립하지 않음을 보여라. 즉, 일 때, 일 수 있음을 예를 들어 설명하여라. (6점)

2. 다음 중 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (5점)

	< 보 기>
(ㄱ) 가 에서 미분 가능하고 일 때, 이면 이다. (ㄴ) 미분가능한 함수 와 에 대하여, 이면 이다. (ㄷ) 이 무한 번 미분 가능하면, 의 적당한 근방에서 관계식 이 성립한다.

① (ㄱ), (ㄷ) ② (ㄴ) , (ㄷ) ③ (ㄴ)

④ (ㄱ), (ㄴ), (ㄷ) ⑤ (ㄱ), (ㄴ)

3. 함수가 에서 미분 가능하고, 이면,

, 임을 보여라. (7점)

4. 다음은 함수가 에서 세 번 미분가능하고 일 때,

임을 보이는 과정이다. 증명의 잘못된 부분에 관하여 논하고 옳은 증명을 제시하여라. (7점)

증명) 이므로, 로피탈의 정리에 의해, 이다. ■

5. 다음은 테일러(Taylor)정리의 증명이다. 빈 곳에 알맞은 말을 적으시오.

(각 2점씩)

정리. 함수, 이고 일 때, 를 만족하는 와 사이의 점 가 존재한다. 증명. 에 대하여, 이라 하면, 함수 을 이라 하자. 그러면, 이고, 이다. 그러면, 평균값 정리에 의해, 이다. ▋

6. 테일러 다항함수를 이용하면 주어진 함숫값의 근삿값을 구할 수 있다. 다음은 의 근사값을 구하는 과정이다. 물음에 답하여라.

6-1. 일 때, 의 에서의 차 테일러(Taylor) 다항함수를 구하여라. (4점)

6-2. 6-1의 와 코시의 나머지 식을 이용하여, 오차 이하의 의 근사값을 구하여라. (3점)

7. 일 때, 위에서 정의된 미분가능 함수열이 함수 에 평등수렴 하지만, 는 미분가능이 아닐 수 있음을 예를 들어 설명하여라. (6점)

8. 일 때, 위에서 정의된 미분가능 함수열과 미분가능함수 에 대하여, 이 에 점별 수렴하고, 이 에 평등수렴하지만, 이 에 평등수렴하지 않을 수 있음을 예를 들어 설명하여라. (6점)

해석학 6차 퀴즈 답안지

학번: 이름:

1
2
3
4
5	ㄱ		ㄴ		ㄷ
6-1
6-2

7, 8번은 뒷면에 풀 것!