[정의1-1] 좌표조각사상 는 개집합(open set) 를 로 보내는 일대일 정칙사상이다.

[정의1-2] 를 조각사상이라 하면, 점 에서

(1) 매개변수곡선()의 속도벡터는

(2) 매개변수곡선()의 속도벡터는 로 표시한다.

(상수)가 곡면일 필요충분조건은 위의 임의의 점 에서 이다. 단 는 에서 미분가능 함수이다.

증명) 를 의 한 점이라 할 때 안의 의 근방을 덮는 고유조각사상을 찾아야 한다. 가정으로부터

이어야 하므로, 점 에서 세 개의 편도함수 중 적어도 하나는 이 아니어야 한다.

이제 라 하자. 이 경우에 음함수의 정리에 의하면 점 근방에서 방정식 로부터 에 관한 해 를 구할 수 있음을 알 수 있다.

좀 더 정확하게 말하면 다음의 두 조건

(1)의 점에 대하여 점는 의점이다. 즉을 만족한다.

(2)의 점 에 대하여 인 형태의 점으로 의 점 의 근방을 채운다.

를 만족하는 의 근방 에서 정의된 미분가능 함수 가 존재함을 말한다. 그런데 은 몽주 조각사상 이므로 점 의 근방은 하나의 단순곡면이 된다. 그런데 점 는 위의 임의의 점이므로 몇 개의 단순곡면을 붙임으로써 만들어지는 곡면이라 할 수 있다.

를 곡면 위의 에서 의 접벡터라 하고, 를 의 근방에서 의 단위법벡터장이라 하자.

, ( 가 )

라 정의 하면 를 에서 로부터 유도된 의 형작용소 또는 모양작용소라 한다.

형작용소는 점 에서 의 접평면 위에서 정의되는 선형사상이고 또한 대칭적이다.

즉, , 에 대하여

( 나 ) , 를 만족한다.

1번

(10점)

1-1

(5점)

1-2

(5점)

2번

(20점)

2-1

(5점)

2-3

(5점)

2-2

(5점)

2-4

(5점)

3번

(10점)

3-1

(5점)

3-2

(5점)

4번

(10점)

4-1

(3점)

4-3

(4점)

4-2

(3점)

5번

(15점)

5-1

(1점)

5-4

(3점)

5-2

(3점)

5-5

(2점)

5-3

(3점)

6번

(15점)

6-1

(5점)

6-3

(5점)

6-2

(5점)

7번

8번