미분기하학 5차 퀴즈 (2011.10.31)

1. 다음은 가우스와 평균곡률의 계산법에 대한 설명이다. 이 계산법을 이용하여 물음에 답하여라.

을 의 조각이라 하고 를 에서 유도된 형작용소라 하고, 에서의 실함수 와 을 다음과 같이 정의하자.

(제 1기본형식) (제 2기본형식)

이 때, 의 가우스곡률과 평균곡률은

,

로 주어진다.

1-1. 안장곡면 의 가우스곡률과 평균곡률을 구하여라.

1-2. 포물면의 가우스곡률과 평균곡률을 구하여라.

2. 정칙곡면의 점 에서의 평균곡률을 로 주어짐을 증명하여라. (단, 여기에서 는 점 에서 고정된 한 방향과 각 을 이루는 방향의 법 곡률이다. (단, 주요곡률은 이다.))

3. 를 점 에서 의 단위 접벡터라 할 때 를 방향에 대한 의 법곡률이라 한다. 물음에 답하여라.

3-1. 곡면 에 대하여 원점에서 방향으로의 의 법곡률을 구하여라.(단, 여기서 법 벡터는 방향이며, 이다.)

4. 현수선 을 축을 중심으로 회전시켜 생기는 회전면 의 가우스 곡률을 라 할 때, 옳은 것을 고르시오.

ㄱ. K(p) > 0인 점 p가 존재한다. ㄴ. 이 곡면은 최소곡면이다. ㄷ. 곡면 에서의 임의의 한 점과 회전면 에서 가우스곡률이 일치하는 점이 존재한다.

5. 다음 각 명제에 대하여 참과 거짓을 판별하고, 거짓이면 이유를 쓰시오

5-1. 두 위상공간 에 대하여 가 연속함수일 때, 가 긴밀집합(compact set)이면 도 긴밀집합(compact set)이다.

5-2. 두 위상공간 에 대하여 가 연속함수이면 함수 의 그래프는 연결집합이다.

5-3. 를 곡면 의 단위 접벡터라 할때 방향 법곡률은 방향 법절단곡선의 곡률과 같다.

5-4. 최소곡면의 가우스곡률은 항상 0보다 작거나 같다.

6. 다음은 향이 주어진 의 곡면의 모양 연산자에 관한 설명이다. 괄호 안에 적절한 내용을 제시하여라.

모양연산자(Shape Operator)는 곡면의 모양을 연구하기 위한 기본적인 도구이다. 를 곡면 의 ( ① )이라 할 때 모양연산자 는 의 임의의 접벡터 (tangent vector) 에 대하여 ( ② )로 정의된다. 이때, 관계식 ( ③ )의 양변을 미분함으로써 가 에 접함을 알 수 있다. 한편, 방향도함수의 성질로부터 는 선형임을 알 수 있다. 를 곡면 의 좌표조각(coordinate patch)이라 할 때, 관계식 의 좌우변을 에 대하여 미분하면 ( ④ ) (단, )이므로 가 성립한다. 한편 는 선형이고 두 벡터 와 은 (점에서) 곡면 의 접평면의 기저를 이루므로, 이는 가 ( ⑤ ) (즉, 같은 점에서 접하는 의 임의의 두 접벡터 에 대하여 이 성립한다.)임을 말해준다.

미분기하학 5차 퀴즈 답안지

학번 : 이름 :

1-1			1-2
2
3-1
4
5-1			5-2
5-3			5-4
6	①	②			③
	④				⑤