미분기하학 6차 퀴즈 (2011.11.21)

1. 다음 물음에 답하시오.

1-1. 원환면 의 가우스 곡률 를 구하시오.

1-2. 가우스 곡률 를 이용하여 를 구하시오.

2. 다음에 대하여 참, 거짓을 판별하시오.

2-1. z축 중심으로 원을 회전하여 생성된 회전원환면 를 생각하자. 점에 의하여 생성된 평행선을 각각 최대평행선, 최소평행선, 상위평행선이라 한다. 이때, 측지선은 최대평행선, 최소평행선, 상위평행선 모두를 말한다.

2-2. 만약 가 와 수직한 평면 에서의 측지선이라 하면 이고 따라서 이다. 그러나 은 정의에 의하여 에 수직이므로, 와 공선적이고 따라서 이다. 그러므로 는 직선이고, 또 모든 직선은 측지선이므로 의 측지선은 에 놓인 모든 직선이다.

2-3. 에 놓인 이 모두 배꼽점이므로 이루어진 곡면이라면, 은 일정한 가우스 곡률를 갖는다. 형작용소가 항등적으로 0이면, 은 에 놓인 평면의 일부분이고, 이 모두 배꼽점으로 이루어진 곡면이고 이면, 은 반지름이 인 에 놓인 곡면의 일부분이다. 이때 에서 모두 배꼽점으로 이루어진 긴밀한 곡면 은 구면 일부분이다.

※ 다음은 국소등장사상에 대한 설명이다.

사상 과 조각 에 대하여 합성사상 을 생각하자. 가 국소등장사상이 될 필요충분조건은 조각 에 대하여 이다. (여기서 가 조각이 아니어도 는 정의된다.)

3. 꽈배기면 에서 현수면

으로 보내는 사상을 라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

3-1. 사상 가 국소등장사상임을 보이시오. (단, )

3-2. 현수면 의 가우스 곡률을 구하시오.

4. 원숭이 안장 곡면 의 극좌표는 이다.

곡면 은 원점 0을 지나는 세 개의 점근곡선과 세 개의 주요곡선을 갖는다. (이는 0이 평면점이고 배꼽점이기 때문에 가능하다.)

4-1. 인 평면과 원숭이 안장 곡면이 만나서 이루는 곡선은 일 때이다. 를 구하시오.(곡면 M의 점근곡선은 직선이다.)

4-2. 다음은 곡선 이 곡면 M의 세 개의 주요곡선임을 보이는 과정이다. 주요곡선 의 식을 구하시오.

일 때, 즉 곡선의 식이 ➀ ② ③ 일 때 주요곡선이다. 이므로 ① 이고 와 곡면의 교선이 이고 와 (0,1,0)은 항상 수직이므로 는 주요곡선이다. ② 과 곡면의 교선이 이고 와 는 항상 수직이다. 따라서 는 주요곡선이다. ③ 과 곡면의 교선이 이고 와 는 항상 수직이다. 따라서 는 주요곡선이다.

5. 다음 괄호에 적절한 내용을 제시하시오.

다음 세 가지 경우 모두 점 에서 오일러 공식 =( ➀ ) 으로부터 얻을 수 있다. 여기서 이고, 는 ( ➁ )이다. (1) 이면 와 는 0이 아니고 같은 부호를 갖는다. 따라서 모든 접벡터 에 대하여 법곡률은 이다. (2) 이면 와 는 0이 아니고 서로 다른 부호를 갖는다. 따라서 고, 이다. 방정식 가 정확하게 두 개의 해 을 가지므로 대응하는 방향이 점근방향이 되고 이 두 방향은 주곡률방향에 의해 이등분된다. 더욱이, 위의 식으로부터 ( ➂ )이 성립한다. (3) 점 가 평면점이면 이므로 모든 접벡터 에 대하여 ( ➃ ) 이다. 가 평면점이 아니고 이면 방정식 의 해는 이고 이에 대응하는 방향은 주곡률방향인 ( ➄ )이다.

미분기하학 6차 퀴즈 답안지

학번 : 이름:

1-1			1-2
2-1			2-2
2-3
3-1			3-2
4-1			4-2
5	①				②
	③	④			⑤