◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [2점] 2차 행렬 을 대각화하는 행렬 를 구하시오.

2. [2점] 의 양의 정수해 쌍을 모두 구하라.

3. [2점] 잉여군 의 위수를 구하라.

4. [2점] 다항식환 에서 를 기약다항식의 곱으로 표현하라.

1. [4점] 선형사상

의 역함수 를 구하시오.

2. [4점] 이차 합동식 의 정수해의 개수를 구하라

3. [4점] 다항식환 의 기약다항식 의 한 근 를 포함하는 단순확대체를 라 할 때, 확대체 에서 의 곱셈역원을 구하라.

4. [5점] 유리수체 위의 다항식 의 분해체를 라 할 때 갈루아군 의 위수를 구하라.

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [4점] 다음 점화수열에 대하여 값을 구하시오.

2. [3점] A 회사와 B 회사에서 생산하는 전기자동차용 배터리의 수명은 각각 정규분포 , 을 따른다고 한다. A 회사의 제품에서 개를 임의로 추출한 표본의 평균수명을 , B 회사의 제품에서 개를 임의로 추출한 표본의 평균수명을 라 할 때, 의 분산 는 이고, 이다. 상수 와 의 값을 각각 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 배터리 수명의 단위는 이고, 는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.)

3. [3점] 두 개의 부품 ㉮와 ㉯로 구성된 시스템이 있다. 이 시스템의 수명은 작동을 시작한 후 두 부품 중 하나가 고장 날 때까지 걸리는 시간이다. 부품 ㉮가 고장 날 때까지 걸린 시간 와 부품 ㉯가 고장 날 때까지 걸린 시간 는 서로 독립이고, 두 확률변수 , 의 확률밀도함수는 각각

이다. 이 시스템의 수명 에 대하여 확률 을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

4. [4점] 에 놓인 곡면 은 곡선 을 축을 회전축으로 하여 회전시킨 회전면이다. 위의 점 에서 단위 접벡터 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 에서의 두 주요곡률을 구하시오.(2점)

(2) 점 에서 방향 법곡률 를 구하시오.(2점)

5. [3점]

에 놓인 곡면 위의 점 에서의 가우스 곡률을 구하시오.

6. [7점]

의 하한위상 와 함수 , 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 가 연속이 되는 상의 위상 중 가장 약한 위상을 라 할 때 의 기저를 구하시오. (3점)

(2) 위상공간 에서 점열 의 수렴성을 판정하고, 수렴하는 경우에는 모든 수렴점을 구하시오. (2점)

(3) 위상공간 에서 집합 의 폐포를 구하시오. (2점)

7. [2점]

3차원 유클리드 공간 에 놓인 두 꽈배기선 과

의 곡률과 비틀림을 각각 라 할 때, 이들의 대소관계를 비교하시오.

8. [3점]

상의 여유한 위상을 라 하자. 이 때 위상공간 에서 한 점 집합 의 폐포를 구하시오.

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◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [2점] 실수열 이 코시수열(Cauchy sequence)이라는 것의 정의(뜻, 의미, definition, meaning)를 쓰시오.

2. [2점] 함수 가 유계라고 하자. 구간 의 분할 에 대한 의 리만 상합(upper Riemann sum) 의 정의를 쓰시오.

1. [4점] 이 위로 유계인 증가수열일 때, 은 으로 수렴함을 증명하시오.

2. [4점] 함수 가 점 에서 극댓값을 갖고 가 존재하면 임을 증명하시오.

3. [4점] 함수 에 대하여 다음 적분의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오.

4. [4점] 복소수 전체의 집합 에서 로의 정함수(entire function) 가 모든 에 대하여 두 조건

을 만족시킬 때, 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

5. [5점] 복소함수 에 대하여 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

여기서 는 복소평면에서 점 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선이다.