◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [2점] 다음 그림은 실세계 상황을 수학적 모델로 표현하여 문제를 해결하는 수학적 모델링 과정이다.

아래에 제시된 실세계 상황과 이 상황으로부터 구성된

문제를 중학교 수준에서 해결하기 위한 수학적 모델을

2가지 제시하시오.

실세계 상황 : 철수는 생일을 맞이하여 친구 5명을 생일모임에 초대하였다. 모임에 참석한 6명이 서로 악수를 나누고 있다.

문제 : 모임에 참석한 6명이 빠지지 않고 모두 악수를 할 때 악수는 몇 번 이루어지는가?

2. [4점] 다음은 수학문제해결 교육과 관련하여 교사들이 주고받은 대화의 일부이다.

(1) 문제해결 지도를 위한 문제들은 실생활로부터 만들어진 문장제이어야 합니다.

(2) 해법이 다양한 문제일수록 그 문제는 문제해결 지도에 적합한 문재가 된다고 생각합니다.

(3) 수학교과서에 나오는 전형적인 문제들도 적절히 변형시키면 문제해결 지도에 적합한 문제로 활용할 수 있다고 생각합니다.

(4) 문제해결을 잘하기 위해서 수학 교과서에서 흔히 보는 연습문제는 풀 필요가 없다고 생각합니다.

대화 내용 중 문제해결 교육과 관련하여 옳지 않게 말한 대화의 번호를 쓰고, 옳지 않다고 생각하는 이유를 쓰시오.

3. [4점] 2015 수학과 개정 교육과정에서 수학 학습 평가는 ① 학생 개개인의 수학 학습과 전인적 성장을 돕고, ② 교사 자신의 수업 방법을 개선하는데 기여하는 것을 명시하고 있다. 다음 문항을 위에 기술한 평가 목적에 보다 부합하도록 재구성하고, 재구성한 근거를 ①, ②의 관점에서 문항 내용과 관련지어 서술하시오.(단, 문항을 재구성할 때 주어진 명제는 변형하지 않는다)

다음 명제의 참, 거짓을 판별하시오. 답:______

명제: 이차함수 는 절편과 절편을 모두 갖는다.

4. [4점] 강 교사는 “기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는 서로 평행하거나 일치한다”는 학습 내용을 지도하려고 한다. 다음은 강 교사가 수업에 사용하기 위해 만든 학습 자료와 그 학습 자료를 활용한 학습 활동에 대한 계획이다.

지도하려는 학습 내용에 대한 강 교사의 수업 계획을 수학적 다양성의 원리의 관점에서 평가하고, 공학적 도구를 사용할 경우, 유의할 할 점 2가지를 제시하시오.

5. [4점] 다음은 수학과 교육과정의 평가 항목에서 제시하고 있는 내용의 일부이다

① 객관식 선다형 위주의 평가를 지양하고 ② 서술형 지필 검사, 관찰, 면담 등 다양한 평가 방법을 활용하여 종합적인 수학 학습 평가가 이루어질 수 있게 한다.

수학과 교육과정에서 제시하고 있는 수학 학습 평가의 목적을 학생과 교사의 측면에서 각각 쓰고, 수학 학습 평가에서 ①에 비해 ②가 갖는 장점을 인지적 영역과 정의적 영역의 측면에서 각각 쓰시오.

6. [3점] 다음은 통계 수업에서 제시할 내용이다.

<문제 2>의 올바른 해결 과정을 서술하고, <문제 3>을 해결한 후 교사가 지도해야 하는 내용으로 올바른 표본조사 방법과 표본조사의 단점을 1가지 쓰시오.[

7. [4점] 다음은 학생들의 증명에 대한 생각을 쓴 것이다.

학생 가: 수업시간에 선생님의 증명을 보면 간단 명료하고 심지어 감탄까지 한다니까. 그런데 나혼자 증명을 하려면 어떻게 해야 할지 모르겠어.

학생 나: 평행사변형의 대변의 길이가 같다는 것을 초등학교에서 이미 배웠는데, 중학교에 와서 그것을 왜 증명하는지 이해가 안돼.

두 학생의 증명에 대한 생각과 그 원인을 각각 분석하고, 그 결과를 근거로 증명지도 개선 방안에 관하여 논하시오

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [2점] 선형사상

의 상 의 차원을 구하시오..

2. [2점] 을 만족하는 모든 소수 쌍 를 구하시오.

3. [2점] 군 의 원소 의 위수가 0일 때 의 위수를 구하시오.

4. [2점] 기약다항식 를 구하시오.

1. [4점] 2차곡선 의 표준형을 구하고, 표준형이 원점을 지나는 직선과 두 점에서 만날 때, 만나는 두 점 사이의 최단 거리를 구하시오.

2. [4점] 이차 합동식 의 해를 구하시오.

3. [4점] 단위원 1을 가진 가환환 의 아이디얼 에 대하여 잉여환 이 체이면 은 의 극대 아이디얼임을 증명하시오.

4. [5점] 유한체 위의 다항식 의 분해체를 라 할 때 임을 보이고 갈루아군 의 위수를 구하시오.

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [4점] 어느 과수원에서 사과, 배, 감, 대추를 30개 수확하는데 대추를 3개 이상 수확하는 방법의 수를 구하시오. (답은 식만 써도 가능)

2. [3점] 확률변수 가 구간 에서 균등분포(uniform distribution)를 따른다. 확률변수 를 이라 할 때, 의 누적분포함수(cumulative distribution function) 를 풀이 과정과 함께 쓰시오.

3. [3점] 두 이산확률변수 의 결합확률분포가 다음과 같다.

조건 이 주어졌을 때, 확률변수 의 조건부기댓값(conditional expectation) 를 구하시오.

[4~5]

4. [4점](서술형) 에 놓인 곡면 은 곡선 을 축을 회전축으로 하여 회전시킨 회전면이다. 위의 점 에서 단위 접벡터 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 에서 방향 법절단곡선의 매개변수방정식을 제시하시오. (2점)

(2) 점 에서 방향 법곡률 를 구하시오. (2점)

5. [3점]

에 놓인 세 곡면

,

,

위의 점 에서의 가우스 곡률을 각각 이라 할 때, 을 구하시오.

6. [2점] (기입형) 3차원 유클리드 공간 에 놓인 곡선 의 곡률과 비틀림을 각각 라 하자. 곡선 과 의 곡률과 비틀림 을 로 표현하시오.

상의 보통위상 에 대해 라 하자. 실수 집합 에서 함수 을

로 정의하자. 그리고 상의 위상을

=

로 정의 하자. 위상공간 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

7. [3점] 점렬 의 수렴성을 판단하고 수렴하는 경우에는 모든 수렴점을 구하시오.

8. [3점] 부분집합 의 도집합을 구하시오.

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [2점] 좌표평면에서 곡선 과 직선 로 둘러싸인 부분을 라 하고 영역 의 경계(boundary)를 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선을 라 하자. 선적분 의 값을 구하시오.

2. [2점] 정의역이 열린 구간 인 함수 의 에서의 차 테일러 다항식을 구하시오.

1. [4점] 연속함수 에 대하여, 을 만족하는 가 존재함을 증명하시오.

2. [4점] 다음을 증명 또는 반증하시오. [각 2점]

(1) 실함수 가 두 구간 에서 각각 균등연속(고른연속, 평등연속, uniform continuity)이면, 에서도 균등연속이다.

(2) 실함수 가 두 구간 에서 각각 균등연속이면, 에서도 균등연속이다.

3. [4점] 자연수 에 대하여 함수 을 로 정의하자. 함수열 이 에서 어떤 함수로 균등수렴(고른수렴, 평등수렴, uniform convergence)함을 보이시오.

4. [4점] 복소평면에서 곡선 가 일 때, 복소적분 의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오. (단, 는 실수이고 는 복소수이다.)

5. [5점] 일 때, 임을 보이시오.