◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음은 함수와 관련한 수학사 자료를 순서 없이 제시한 것이다. (가)∼(마)를 함수 개념이 발생한 순서로 배열하시오. [2점]

(가) 고대 바빌로니아나 그리스에서 천문학을 연구했던 사람들은 태양, 달, 행성 등의 변화를 관찰하여 수표를 작성하다. 이 시기 사람들은 수표를 사용하여 천체 운동을 서술하고 주기성을 발견하였다. 삼각함수의 기원을 이 시기에서 찾을 수 있다.

(나) 비에트(F. Viète)가 문자를 사용하는 방식을 발전시키고 데카르트(R. Descartes)가 해석기하학을 창안한 것에 기하여 함수를 대수적으로 연구하게 되었다. 라는 기호를 처음으로 사용한 오일러(L. Euler)는 변수와 상수가 결합된 방식에 따라 함수를 분류했다. 이 시기에 이르러 독립변수와 종속변수의 구분이 명확해졌다.

(다) 해석학을 엄밀하게 만들기 위해 함수의 연속성과 미분가능성에 대한 연구가 이루어졌다. 데데킨트(R. Dedekind), 칸토어(G. Cantor) 등이 실수의 구조를 엄밀하게 하여 해석학을 발전시켰다. 부르바키(Bourbaki) 학파는 집합론에 기초하여 ‘순서쌍의 집합의 부분집합’이 어떤 특정한 조건을 만족할 때 그 부분집합을 함수로 정의하였다.

(라) 이 당시 학자들은 주로 운동을 나타내는 곡선을 중심으로 곡선의 접선, 곡선 아래의 넓이, 곡선의 길이, 곡선을 따라 움직이는 점의 속도 등을 연구하였다. 갈릴레이(G. Galilei)는 등가속도 운동을 하는 물체가 움직인 거리와 시간의 관계를 연구하는데, 과학에서 이루어진 운동에 대한 연구가 함수를 개념화하는 데 기여하였다.

(마) 푸리에(Fourier) 급수나 디리클레(Dirichlet) 함수에 대한 연구결과로 인하여 함수 개념을 새롭게 정의할 필요성이 생겨났다. 일가성과 임의성을 가지는 대응으로 함수를 정의함으로써 한 변수의 각 값에 다른 변수의 유일한 값이 대응되느냐 되지 않느냐는 논리 조건에만 심을 갖게 되었다.

2. 다음 아래의 내용은 수학 학습 심리에 관한 여러 학자들의 이론에 대한 설명이다. 그 설명으로 올바른 것을 모두 고르시오.[2점]

ㄱ. 피아제(Piaget)에 따르면, 수학교육에서 활동적 학습, 구체적 조작을 강조하되, 학생들에게 인지적 갈등을 유발할 수 있는 학습 상황을 제공하는 것은 바람직하지 않다.

ㄴ. 브루너(Bruner)의 EIS 이론에서, 아동의 지능의 발달은 활동적(enactive) 표현, 영상적(iconic) 표현, 상징적(symbolic) 표현의 순서로 이루어지고, 그들 사이의 조정능력의 발달을 의미한다

ㄷ. 스켐프(Skemp)가 설명하는 관계적 이해(relational

understanding)에 의한 수학 학습 방법은 새로운 과제에 대한 적응력이 높아지는 장점이 있는 반면, 시간이 많이 소요되고, 기억의 지속력은 더 약하다는 단점이 있다.

ㄹ. 딘즈(Dienes)가 제시하는 수학 개념의 학습 과정은 자유놀이 단계, 게임 단계, 공통성 탐구 단계, 표현 단계의 4단계로 이루어진다.

ㅁ. 오수벨(Ausubel)은 발견학습과 반대되는 것은 ‘기계적 학습’이 아니라 ‘의미있는 언어적 학습(설명학습)’으로, 발견과정을 거치지 않는 설명식 지도로 의미있는 학습이 일어날 수 있음을 강조하였다.

3. 다음은 박 교사가 학생들의 수학적 추론 능력을 알아보기 위해 제시한 문제이다.

<영희의 풀이>

보이는 다섯 개의 수가 1, 4, 6, 7, 9 일 경우, 그리고 1, 3, 6, 7, 10일 경우를 살펴보면, 그 합이 모두 27임을 알 수 있다. 다른 경우도 마찬가지 일 것이므로 답은 27이다.

철수가 제시한 풀이에 나타난 수학적 추론의 유형을 쓰고, 이러한 유형의 추론이 철수의 문제해결 과정에서 어떤 역할을 하였는지 설명하시오. 그리고 철수의 풀이에서 보완되어야 할 점을 기술하시오[3점]

4. 다다음은 중학교 ‘기하’ 영역에 대한 수업 상황이다.

<수업상황>에서 명제 ㉤의 증명에 분석법과 종합법을 적용하는 과정을 수업상황과 관련지어 구체적으로 제시하고, 명제를 증명할 때 분석법과 종합법을 함께 이용하는 활동의 수학교육적 의의를 설명하시오.[4점]

5. 박 교사는 고등학교 ‘수학1’ 삼각함수 단원에서 <수업 방향>에 따라 <온라인 활동 과제>를 활용한 실시간 온라인 수업을 하려고 한다.

◦학생이 수업에 하여 가능한 한 많은 권리와 책무성을 갖도록 한다.

◦학생과 학생 사이에 충실한 상호작용이 일어나도록 한다.

◦학생이 다양한 표상을 사용하는 능력을 함양하도록 한다.

<수업 방향>

(가) 컴퓨터 기하 로그램으로 삼각함수 그래를 그리는 방법을 복습하시오.

(나) 함수 의 그래프를 의 값을 다르게 하여 여러 개 그려보고, 함수 의 그래프는 의 값을 다르게 하여 여러 개 그려본 후 나타난 결과를 분석하여 정리하시오.

(다) 함수 (는 상수)의 그래프의 성질에 대하여 정리한 내용을 발표하시오.

박 교사의 <수업 방향>에 적합한 교수․학습 방법을 2015 개정 수학과 교육과정에서 ‘교수․학습 평가의 방향’의 ‘교수․학습 방법’에 제시된 것에서 선택하여 쓰시오.

선택한 ‘교수․학습 방법’을 적용할 때, <온라인 활동 과제>의 (다)에서 학생이 할 발표의 준비 과정과 내용을 약술하시오.[4점]

6.다음은 수학사의 활용에 대해 논의하고 있는 교사들의 대화이다.

방정식의 일반해를 나타낼 수 있게 되었다는 점에서 밑줄 친 ㉠의 확대된 문자의 사용 범위를 구체적으로 쓰시오. 또한, 밑줄 친 ㉡이 뜻하는 용어가 무엇인지 쓰고, 밑줄 친 ㉢에서 ‘수학사를 교육적으로 활용’한다는 것의 의미를 설명하시오. [4점]

7. 다음은 중학교 2학년 학생들에게 피타고라스 정리를 지도하는 수업의 일부이다.

이 수업에서 피타고라스 정리의 의미를 이해하여 활용하는 데 중점을 두고 위의 활동으로 시작하였다. 반 힐레의 기하 학습 수준에 따라 (1)～(4)번 문제를 해결한 학생들의 특징과 그 근거를 각각 쓰시오.[3점]

8.다음은 고등학교 2학년 학생들에게 ‘수열의 수렴과 발산’을 지도한 후 아래와 같은 주제로 수업을 하였다.

위의 내용 중 <중략> 부분에 해당되는 내용을 사회적 구성주의의 지식이 구성 과정에 기초하여 쓰시오.[3점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 선형사상 이

로 주어질 때, 의 순서기저

와 의 표준기저 에 관한 행렬 를 구하시오.

[2점]

2. 의 해를 모두 구하시오. [2점]

3. 군준동형사상 의 개수를 구하시오. [2점]

4. 잉여군 와 동형인 군을 구하시오. [2점]

1.3차 행렬 을 대각화하시오. [4점]

2. 방정식 의 해를 구하시오.[4점]

3.군준동형사상 을 모두 구하시오. [4점]

4. 체 위의 다항식 에 대하여 다음 물음에 답하시오. [5점]

(1) 의 분해체 를 구하시오. [2점]

(2) 갈로아군 와 동형인 군을 구하시오. [3점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음 조건을 만족하는 그래프를 각각 하나씩 그려라.

(1) 꼭짓점의 집합이 이고 변(edge)의 집합이 인 단순그래프(simple graph)로서, 차 정사각행렬 를

로 정의할 때, 인 것 [기입형, 2점]

(2) 꼭짓점의 개수가 6인 단순그래프로서 꼭짓점의 차수가 인 것 [기입형, 1점]

(3) 꼭짓점의 개수가 6인 단순그래프로서 꼭짓점의 차수가 인 것 [기입형, 1점]

2. 위상과 관련된 다음 각 개념의 정의를 서술하시오. [6점]

2-1. 위상(Topology)

2-2. 점열의 수렴성

2-3. 연속함수

2-4. 긴밀(Compact)집합

2-5. 연결집합

2-6. 한 점(One point) 긴밀화

3. A 회사와 B 회사에서 생산하는 배터리의 수명은 각각 정규분포 , 을 따른다고 한다. A 회사의 제품에서 개를 임의로 추출한 표본의 평균수명을 , B 회사의 제품에서 개를 임의로 추출한 표본의 평균수명을 라 할 때, 의 분산 는 이고, 이다. 상수 와 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 배터리 수명의 단위는 이고, 는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.) [서술형, 3점]

4. 를 균등분포(uniform distribution) 로부터의 확률표본(random sample)이라 하고, 를 의 중앙값(median)이라 하자. 이때 의 누적분포함수(cumulative distribution function) 를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점]

5. 곡면 에 대하여 다음 물음에 답하시오. [4점]

5-1. 의 좌표 조각을 제시하고, 이를 이용하여 이 직선 곡면임을 설명하시오.

5-2, 두 점 를 연결하는 측지선(grodesic)의 매개변수표현을 구하시오.

6. 에서 보통 위상공간 로의 함수

,

에 대하여 을 함수 가 연속이 되는 의 위상 중 가장 약한 위상이라 하자. 위상공간 에 대하여 다음 물음에 답하시오. [3점]

(1) 점열 의 극한을 모두 구하시오.

(2) 가 긴밀 집합임을 보이시오.

7. 곡면 에 대한 다음 물음에 답하시오. [4점+2]

7-1. 의 좌표조각을 제시하시오. (1점)

7-2. 의 좌표조각을 이용하여 의 곡선의 매개변수식을 제시하시오. (1점)

7-3. 의 측지선(geodesic)은 대원(great circle)임을 보이시오. (2점)

7-4. 의 형작용소(Shape Operator)을 구하시오. (2점)

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 실수 에 대하여

라 할 때, 의 값을 구하시오.

(단, 이다.) [2점]

2.인 실수 에 대하여

일 때, 의 값을 구하시오. [2점]

1. 복소평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 에 대하여 선적분

의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 는 의 켤레복소수이다.) [4점]

2. 차원 유클리드 공간 에서 구

위에 단위속력곡선(arc-length parametrized curve)

이 있다. 각 에 대하여 점 에서의 의 종법선벡터(binormal vector)를 , 점 에서의 의 법선벡터(normal vector)를 라 하자.

모든 에 대하여 을 만족할 때, 의 비틀림률(열률, 꼬임률, torsion) 를 구하시오. [5점]

3. 복소수 에 대한 함수

가 정함수(entire function)가 되도록 하는 양의 실수 의 값과, 이 때의 의 값을 각각 풀이과정과 함께 쓰시오. (단, 는 실숫값 함수이다.) [4점]

4. 자연수 에 대하여 함수 를

로 정의하자. 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [3점]

5. 구간 에서 미분가능한 함수 에 대하여

라 하자. 가 무한집합일 때, 과 을 모두 만족하는 실수 가 존재함을 증명하시오. [5점]