◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음은 증명에 대한 두 절대주의 수리철학의 관점 (가)와 (나)를 제시한 것이다. (가)와 (나)에 해당하는 수리철학을 순서대로 쓰시오. [2점]

2. 박 교사는 다항식의 곱셈과 관련하여 <보기>의 학습 내용을 ①에서부터 순서대로 지도하려고 한다. 이 때, 박 교사가 계획한 학습 내용의 지도 순서와 관련하여, 그의 생각에 반영되어 있는 원리를 쓰고 그 원리에 대해 약술하시오.[2점]

① 의 전개

② 의 전개

③ 의 계산

3. 상관관계를 지도하는 수업 시간에 학생들에게 ‘휴대전화 사용 시간과 수면 시간의 상관관계’를 포스터로 제작하도록 하였다. A 모둠 학생들이 만든 포스터는 다음과 같다.

이 수업의 평가 방법으로 프로젝트 평가가 적절한 이유를 설

명하시오. 그리고 평가 항목 (3)에 따라 A 모둠 포스터의

‘자료 분석’을, 평가 항목 (4)에 따라 A 모둠 포스터의 ‘결론’

을 평가하여 그 결과를 각각 서술하시오.[4점]

4. 다음 <자료 1>은 원주각의 성질을 지도하는 수업 상황의 일부이다.

사회적 구성주의와 급진적 구성주의의 차이점을 쓰고, 수업 상황을 사회적 구성주의 이론의 ‘객관화된 수학 지식을 얻기까지 거쳐야 할 과정’의 관점에서 <자료1>의 내용을 분석하시오.[4점]

5. 신교사는 <수열의 수렴과 발산>을 지도한 후 아래와 같이 ‘진동하는 수열’에 대한 탐구주제로 수업을 하였다.

<주제: 진동하는 수열>

교사: 진동하는 수열에 대한 여러분의 생각을 발표하도록 하죠.

학생 1: 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀝니다.

학생 2: 진동하는 수열의 각 항의 값은 항상 교대로 반복합니다.

학생 3: 양수와 음수가 교대로 반복되어 나타나면 항상 진동하는 수열입니다.

학생 1: 과 같은 수열은 –1, 1, -1, 1, -1, … 이므로 진동하고 있어요. 그러니까 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀌는 것이 맞습니다.

학생 2: 그럼 내 생각대로 진동하는 수열의 각 항의 값도 –1, 1, -1, 1 과 같이 항상 교대로 반복하는 것이 옳을까요?

<중략>

교사: 토론을 통해서 수열 에서 n이 한없이 커짐에 따라 일반항 의 값이 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 수열은 진동한다고 합니다. 지금 여러분이 발견한 내용을 정리하면 진동하는 수열이라고 해서 항상 각 항의 부호가 바뀌는 것은 아니고, 항상 일정한 값이 반복되어 나타나는 것도 아닙니다. 또 양수와 음수가 반복되어 나타난다고 해서 항상 진동하는 수열이라고 할 수 없어요.

위의 수업에서 사회적 구성주의의 지식의 구성 과정에 따라 <중략> 부분에서 학생들의 지식을 재구성하는 과정을 쓰시오.[3점]

6. 다음은 강 교사와 임 교사가 학기 초에 수학 교과의 평가 방법을 논의하면서 나눈 대화의 일부이다.

밑줄 친 ㉠, ㉡의 평가 방법의 명칭을 2015 개정 수학과 교육과정의 ‘평가 방법’에 제시된 용어로 순서대로 쓰시오. 또한 2015 개정 수학과 교육과정의 ‘평가 원칙’에 제시된 수학과 평가의 목적을 기술하고, 그 목적의 관점에서 밑줄 친 ㉠의 평가 방법이 갖는 장점을 1가지 서술하시오. [4점]

7. 다음은 피타고라스 정리를 지도하는 예시입니다.

<1단계> 학습할 주제를 학생들에게 소개한다.

<2단계> 직각 삼각형을 만들고 이 삼각형의 밑변, 높이, 빗변을 한 변으로 갖는 각각의 정사각형 넓이를 구한다.(단, 밑변의 길이와 높이는 양의 정수)

<3단계> 다른 직각삼각형을 몇 개 더 만들어 보고 각각의 삼각형에 <2단계>를 실시하여 결과를 모두 다음과 같이 표에 기록한다.

<4단계> 표를 보고 정사각형 넓이 사이의 규칙성을 알아본다.

<5단계> 직각삼각형의 밑변의 길이, 높이, 빗변의 길이를 각각 라 하고 그 각각의 변을 한 변으로 갖는 정사각형 넓이 사이의 규칙성을 식으로 표현한다.

폴리아(G. Polya)에 따르면, <2단계>부터 <3단계>에 해당하는 추론 유형가 무엇인지 쓰고 이러한 추론 유형의 교육적 의의를 쓰시오. 또한 반 힐레(P. M. van Hiele)의 교수․학습 단계에 따르면 <2단계>부터 <3단계>에 해당되는 단계가 무엇인지 쓰고, 그 단계의 특징을 쓰시오.[4점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

◦ 밑줄 있는 번호는 3학년이 풀 수 있는 문제

입니다.

1. 행렬 의 rank를 구하시오.[2점]

2. 방정식 의 해를 구하시오.[2점]

3. 군준동형사상 의 개수를 구하시오. [2점]

4. 잉여군 의 원소 의 위수를 구하시오. [2점]

1. 차 정방행렬 가 서로 다른 고윳값 을 가질 때 행렬 에 대하여 와 det()를 구하시오.[4점]

2. 방정식 의 해가 존재하는 정수 를 모두 구하시오.(단, ) [4점]

3. 군 의 위수가 28이면 는 단순군이 아님을 보이시오.[4점]

4. 체 위의 다항식 에 대하여 다음 물음에 답하시오. [5점]

(1) 의 분해체 를 구하시오. [2점]

(2) 갈로아군 와 동형인 군을 구하시오. [3점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 좌표평면의 영역 가

일 때, 함수 를 다음과 같이 정의하자.

두 반복적분의 합

의 값을 구하시오. [2점]

2. 구간 에서 정의된 함수 의 역함수를 라 하자. 의 값과 의 값을 순서대로 쓰시오. [2점]

1. 복소수 에 대한 함수

가 정함수(entire function)가 되도록 하는 양의 실수 의 값과, 이 때의 의 값을 각각 풀이과정과 함께 쓰시오.

(단, 는 실숫값 함수이다.) [4점]

2. 일반화된 이항계수 이 을 만족할 때, 과 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 은 음이 아닌 정수이다.) [4점]

3. 연속함수 은 에서 미분가능하다. 모든 에 대하여 일 때, 을 만족하는 가 유일하게 존재함을 증명하시오. [4점]

4. 함수항 급수 가 실수 전체의 집합 에서 점별수렴(pointwise convergence)함을 보이시오. 또 함수

는 균등연속(고른연속, 평등연속, uniformly continuous)임을 보이시오. (단, 는 탄젠트함수의 역함수이다.) [5점]

5. 복소평면에서 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 에 대하여 선적분

의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 는 의 켤레복소수이다.) [4점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음 물음에 답하시오.

(1) 같은 종류의 물건 개를 명의 학생에게 나누어주는데 하나도 받지 못하는 학생이 있는 경우를 포함하는 경우의 수를 이라 할 때, 의 값을 구하시오. [기입형, 2점]

(2) 자연수 에 대하여, 방정식

(단, )

을 만족하는 정수해의 개수를 구하시오. [기입형, 2점]

2. 집합 는 이산위상 를 가진다. 실수 집합 상에서 함수 을

으로 정의하자. 상의 위상 를 으로 정의할 때 위상공간 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

1. 점렬 의 수렴성을 판단하고 수렴하는 경우에는 모든 수렴점을 구하시오.(3점)

2. 부분집합 의 도집합을 구하시오.(3점)

3. 확률변수 의 적률생성함수(moment generating function) 가

이다. 확률변수 의 분산을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 3점]

4. 두 확률변수 와 의 결합확률밀도함수(joint probability density function) 를

라 하고 확률변수 를 라 하자. 의 누적분포함수(cumulative distribution function) 를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 를 의 확률밀도함수(probability density function)라 할 때, 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점]

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 곡면 은 의 곡선 을 축을 회전축으로 회전시킨 회전면이다. 점 에서 의 법곡률의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오 [3점]

2. 두 곡면 의 교선 에 대한 다음 물음에 답하시오. [5점]

7-1. 의 매개변수식을 구하시오. [1점]

7-2. 점 에서 의 곡률을 구하시오. (2점)

7-2. 는 평면곡선이다. 곡선 의 곡률합 를 구하시오. (2점)