수    학  (4면  중 

3 면)

김 교사 : 오늘은  가능성의  크기를  어떻게  구하는지에  대해 

공부하려고 해요.  이와 관련해 일어날 가능성이 가장 

큰 사건을 찾는 활동을 해 봅시다.  예를 들어 두 주사

위를 던졌을 때,  두 주사위의 눈의 합이 나올 수 있는 

사건의 수는   입니다.  합이   인 사건부터   인 사

건까지 나올 수 있는 것이지요.  그   가지 사건 중

에서 일어날 가능성이 가장 큰 사건은 무엇일까요?

학 생 들 :  가지 사건이 일어날 가능성은 서로 같을 것 같은데요.

김 교사 : 왜 그렇게 생각하나요?

학 생 들 : 그냥 서로 같을 것 같아요.

김 교사 : 그러면  두  주사위를  던지는  실험을  통해  여러분의 

예상이 맞을지에 대해 알아보도록 하지요.

     개의  모둠을  편성해서  모둠마다  두  주사위를   번씩 

던지고,  던진 횟수에 대해 각 사건이 나온 횟수를 기입하는 방

식으로 상대도수를 나타낸 아래의 표를 완성하였다.

김 교사 : 우리가  예상한  것과  상당히  다른  결과가  나온  이유

가 뭘까요?  왜 그런지 생각해 봅시다.

학생  A : 제  생각에는   가지  사건이  일어날  가능성이  원래

부터  서로  같지  않아서  그런  것  같아요.  각  사건에 

들어있는 경우의 수를 잘 세어야 해요.

김 교사 : 그 가능성이 어떻게 서로 다른지에 대해 자세히 설명

해줄 수 있나요?

학생  A : 네.  두  주사위의  눈의  합이  나오는  사건의  수는  

이  맞습니다.  하지만  두  주사위의  눈이  나오는  경우

의  수는  ,  ,  ,  ⋯,  ,  ,  ⋯, 

과 같이  입니다. 

    이후,  학생  A는  두  주사위의  눈의  합이   인  사건부터   인 

사건  각각에  포함된  경우들을  언급하면서,  전체  경우의  수에 

대한 해당 사건에 포함된 경우의 수를 세어서   가지 각 사건

이 일어날 가능성이  



 , 





 , 





 , 





 , 





 , 





 , 





 , 





 , 





 , 





 , 





 임을 설명하였다.

김 교사 : 실험 결과에서 합이   인 사건부터   인 사건까지의 

상대도수가 서로 비슷하지 않은 이유가 무엇인지 알

겠어요? 

학 생 들 : 네.  알  것  같아요.  원래  가능성이  서로  달랐기  때문

에 실험 결과에서도 서로 다르게 나온 것 같아요. 

학생  B : 그러고  보니까,  학생  A가  제시한  각각의  가능성이 

실험을 통해 나온 각각의 상대도수와 거의 같아요.

김 교사 : 좋은  관찰입니다.  … (중략) …  어떤  사건이  일어날 

가능성을  확률이라  합니다.  이제  우리가  오늘  했던 

활동을  바탕으로  일반적으로  확률을  어떻게  구하면 

될지 생각해 볼까요? 

학생  A : 어떤 사건이 일어날 확률을 구할 때에는 그 사건에 들

어있는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누면 구할 수 

있어요. 

학 생 들 : ㉠ 선생님,  다른  상황에서도  어떤  사건이  일어날 

확률을  구할  때  각각의  경우는  항상  같은  가능성을 

가지고 있다고 생각하면 되는 거지요?

김 교사 : ㉡ 지금  질문한 내용이  중요합니다.  여러분이  확률을 

구해야  하는  상황에서  흔히  잘못  생각하는  부분이 

있어요.  정육면체  주사위와  직육면체  주사위를  던진

다고  생각해  봅시다.  … (중략) …  실험도  해  볼까요. 

… (중략) …  이런 점을 잘 고려해서,  어떤 사건이 일

어날  확률은  어떻게  구하면  되고  이때  무엇에  유의

해야 하는지 정리해 볼까요.

  … (하략) …

논술형 【1 ~ 2】

1. 다음은 중학교에서 확률 개념을 도입하는 수업의 일부이다.  이 수업 

이전에,    개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정에 따라 ‘가능성’은 

초등학교 - 학년군에서 다루어졌고 ‘상대도수’,  ‘사건’,  ‘경우의 수’는 

중학교에서 이미 다루어졌다고 하자.

      개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정의 중학교 확률과 통계 

영역 <교수․학습상의 유의점>   가지 사항과 확률 직관에 대한 

피시바인(E.  Fischbein)의 이론을 적용하여,  김 교사는 ‘경우의 수의 

비율’로 확률 개념을 도입하고 있다. 

    김 교사의 수업에서 확률과 통계 영역의 <교수․학습상의 유의점> 

 가지 사항이 각각 어떻게 적용되고 있는지 설명하시오.  그리고 

학생이 확률을 배우기 이전부터 가지고 있던 ‘확률 직관의 특성’과 

‘확률 직관 발달의 특성’에 대한 피시바인의 이론을 각각 설명하고, 

위의 밑줄 친 ㉠과 ㉡에서 그러한 피시바인의 이론이 어떻게 적용되고 

있는지 각각 설명하시오.  [10점]

수    학  (4면  중 

4 면)

<수고하셨습니다.>

2. 다음  개의 복소함수



    ,       

,    

    

 ,    

    





로 생성되는 복소 벡터 공간 

          ∈

를   라 하자.  여기서  는   의 켤레복소수이다.

복소평면     상의 시계반대방향의 단위원        에 대하여 

사상(map)     →  를 다음과 같이 정의하자.

 







 가 선형사상임을 증명하시오.  선형사상  의 핵(kernel)  ker의 

기저를 구하고,  ker를 이용하여 

    ∈    를 

나타내시오.  [10점]