일반물리
General Physics
6
장 운동량과 충돌
6.1
운동량과 충격량
운동량
선운동량(linear momentum)
p
각운동량(angular momentum)
l
선 운동량의 단위;
질량 ×속도 = kg × m/ s = kg m/s
6
장 운동량과 충돌
선운동량의
y 축 성분 p
y = m vy
선운동량의
x 축 성분 p
x = m vx
선운동량
p = m v
뉴튼의 제2법칙은; 힘 F = ma = m = =
t
v
t
m v
t
p
∴ F t = p = m v
f – m vi ; 충격량 – 운동량 정리
충격량
힘이 물체에 가하는 충격량은 물체의
운동량의 변화와 같다
.
t
i
t
f
F
2 cm
공의 질량 m = 50 g, 골프채를 떠날 때의 속도 = 44 m/s
충격량 =
F dt
t
f
t
i
6.2
운동량의 보존
운동량 보존의 법칙
;
충돌 전의 운동량
= 충돌 후의 운동량
m
1v1
m
2v2
충돌 전 운동량
p
i = p1 + p2 = m1v1+m2v2
충돌 후 운동량
p
f = p’1 + p’2 = m1v’1+m2v’2
운동량 보존의 법칙; 충돌전의 운동량 = 충돌후의 운동량
p
i = pf ∴ m1v1+m2v2 = m1v’1+m2v’2
m
1v’1
m
2v’2
충돌 전
충돌 후
질량 m
1, m2인 물체가 각각 속도 v1,v’2로
운동하며 충돌하였다. 충돌 후에 각각
속도 v’
1, v’2 으로 운동한다.
이때 운동량 보존의 법칙 관계식은?
예)
질량 900 [kg]인
자동차속도 20[m/s]
로 달려와서
정지해있는 질량 1800[kg]
인 자동차와 충돌하였다.
충돌후에 하나가 되어 속도 V
로 운동한다. V는?
m
1 = 900 kg , v1 = 20 m/s
m
2 = 1800 kg , v2 = 0 m/s
운동량 보존의 법칙;
m
1v1
m
2v2
충돌 전 운동량
p
i = p1 + p2 = m1v1+m2v2
충돌 후 운동량
p
f = p’1 + p’2 = m1v’1+m2v’2
충돌 전
충돌 후
(m
1+m2) V
☞처음에
m
2는 정지한 상태이므로, v2 =0,
충돌후에는 하나되어 운동하므로, v’
1 = v’2 = V
예)질량이 각각 2[kg],4[kg]인 물체가 각각 속도 8[m/s],
3[m/s]
로 반대 방향에서 달려와서 충돌하였다. 충돌후에는
그림과 같이 각각 운동을 한다. 이때 질량 2[kg]인 물체의
속도가 2[m/s]일때, 질량이 4[kg]인 물체의 속도는?
충돌 전 운동량
충돌 후 운동량
운동량 보존의 법칙; 충돌전의 운동량 = 충돌후의 운동량
p
i = pf
충돌 전
충돌 후
2[kg],8[m/s]
4[kg],3[m/s]
2[kg],2[m/s]
4[kg],V[m/s]
▶운동방향이 우측방향이면
“+”, 좌측방향은 “-”로 둔다
투척구의 초기 운동량 p
i = 0
공을 발사하면
공의 질량 m, 속도 v ,
투척구의 질량 M, 속도 V
운동량 보존의 법칙; 충돌전의 운동량 = 충돌후의 운동량
p
i = pf ∴ 0 = m1v1 + MV V = - m1v1 / M
예) 투척기에서 공의 질량 0.15 [kg]인 공을 속도 36 [m/s]로 투척한다.
투척기의 질량은 50[kg]이다. 투척기에서 공을 투척하는 순간에
투척기의 후진속도는
초기에 투척기와 공이 정지해있는 상태이므로; p
i = 0
공을 발사하면 ; p
f = 0.15[kg] × 36[ms]+50[kg] × V
운동량 보존의 법칙; 충돌전의 운동량 = 충돌후의 운동량
p
i = pf
V = - m
1v1 / M = - 0.15 × 36 / 50 [m/s] = -0.11 [m/s]
예) 투척기에서 공의 질량 0.15 [kg]인 공을 속도 36 [m/s]로 투척한다.
투척기의 질량은 50[kg]이다. 투척기에서 공을 투척하는 순간에
투척기의 후진속도는
충돌 전
충돌 후
V
36[m/s]
▶운동방향이 우측방향이면
“+”, 좌측방향은 “-”로 둔다
6.3
충돌(collision)
충돌에는 다음의 3가지 경우가 있다
. 모든 경우에 선운동량은 보존된다.
►탄성충돌(elastic collision) ; 충돌 전과 충돌 후의 운동에너지 보존
비탄성충돌
►
(inelastic collision) ; 충돌전과 후의 운동에너지 비보존
완전 비탄성충돌
►
; 두 물체가 충돌해서 하나로 되어 운동. 운동에너지는
보존되지 않는다
.
탄성충돌
충돌전 운동에너지 E
i = 충돌후 운동에너지 Ef
충돌전 선운동량 p
i = 충돌후 선운동량 pf
비 탄성충돌, 완전비탄성 충돌
충돌전 운동에너지 E
i ≠ 충돌후 운동에너지 Ef
충돌전 선운동량 p
i = 충돌후 선운동량 pf
►완전 비탄성충돌의 예)
자동차가 충돌해서 하나로
되어 속도 V로 운동
m
1 = 900 kg , v1 = 20 m/s
m
2 = 1800 kg , v2 = 0 m/s
탄성충돌
충돌 전 운동에너지 E
i = 충돌 후 운동에너지 Ef
충돌 전 선운동량 p
i = 충돌 후 선운동량 pf
m
1 , v1i
m
2 , v2i
m
1 , v1f
m
2 , v2f
충돌전 운동에너지 E
i = ½ m1v1i
2
+ ½ m
2v2i
2
충돌전 선운동량 p
i = m1v1i +
m
2v2i
충돌후 운동에너지 E
f = ½ m1v1f
2
+ ½ m
2v2f
2
충돌후 선운동량 p
f = m1v1f + m2v2f
m
1( v1i - v1f ) ( v1i + v1f ) = m2( v2f - v2i ) ( v2f + v2i )
운동방정식; E
i = Ef , pi = pf
½
∴
m
1v1i
2
+ ½ m
2v2i
2
= ½ m
1v1i
2
+ ½ m
2v2i
2
m
1( v1i
2
–v
1f
2
) = m
2( v2f
2
– v
2i
2
)
m
∴
1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f m1(v1i - v1f) = m2( v2f -
v
2i)
탄성충돌의 운동방정식 정리
½ m
1v1i
2
+ ½ m
2v2i
2
= ½ m
1v1i
2
+ ½ m
2v2i
2
;
운동에너지 보존
m
1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
; 선운동량 보존
m
1( v1i - v1f ) = m2( v2f - v2i )
( v
1i + v1f ) = ( v2f + v2i )
M
m
M >> m
m/M ≈0
질량 m
의 믈체가 정지해 있는 질량 M
인
물체에 충돌한 경우의 문제
m
1( v1i - v1f ) = m2( v2f - v2i )에서
m( v
1i - v1f ) = M v2f m/M ≈0
(m/M) ( v
1i - v1f ) = v2f ≈0 ∴
질량 M
의 무거운 물체는 정지해 있고 질량 m
의 가벼운
물체는 초기 속도로 반대방향으로 되튄다.
M
m
M >> m
m/M ≈0
질량 M
의 믈체가 정지해 있는 질량 m
인
물체에 충돌한 경우의 문제
m
1( v1i - v1f ) = m2( v2f - v2i )에서 M(
v
1i - v1f ) = m v2f m/M ≈0 (m/M)
v
2f = ( v1i - v1f ) ≈0
∴v1i ≈ v1f
질량 M
의 무거운 물체는 초기 속도로 같은 방향으로 운동하고
정지해 있던 질량 m
의 가벼운 물체는 질량 M
의 초기 속도의 두 배로
질량 M
과 같은 방향으로 운동한다.
그리고 ( v
1i + v1f ) = ( v2f + v2i ) 관계식에서∴
예제) 질량 2[kg]으로 동일한 물체 A,B와 질량 1 kg 인 C가 있다. C
는 처음에 정지해 있고 A는 8[m/s] B는 2[m/s]로 운동하며
A
와 B는 완전비탄성 충돌하였고,
다시 AB는 C와 완전 비탄성 충돌을 하였다.
A
의 최종속도와 운동에너지를 구하시오.
A
B
C
v
AB
v
ABC
A
B
C
v
AB
v
ABC
운동량보존의 법칙; m
AvA+mBvB = (mA+mB)vAB
운동량보존의 법칙; (m
A+mB)vAB + mCvC= (mA+mB+ mC) vABC
► A
의 초기에너지 =
► A
의 최종에너지 =
■ 탄성충돌에서 적용되는 중요한 2개의 공식 (외우자)
공식 1. m
1( v1 – v’1 ) = m2( v’2 – v2 )
공식 2. ( v
1 + v’1 ) = ( v’2 + v2 )
m
1v1
m
2v2
m
1v’1
m
2v’2
충돌 전
충돌 후
▶상기의 두개 공식은 탄성충돌인 경우에만 사용한다
.
하얀 공의 중심을 쳐서 빨간 공의 중심을 때렸다면,
m
1( v1i - v1f ) = m2( v2f - v2i ) 와 ( v1i + v1f ) = ( v2f + v2i ) 관계식에서 m1
= m
2 이므로 ( v1i - v1f ) = v2f , ( v1i + v1f ) = v2f
∴ v
1i = v2f , v1f = 0
하얀 공은 정지하고 빨간 공은 하얀 공의 초기 속도로 운동한다.
하얀 공의 중심을 쳐서 빨간 공의 중심을 때렸다면
하얀 공은 정지하고 빨간 공은 하얀 공의 초기 속도로 운동한다.
빨강 공은 정지하고 파랑 공은 빨강 공의 초기 속도로 운동한다.
파랑 공은 정지하고 검은 빨간 공은 하얀 공의 초기 속도로 운동한다.
v
i
v
i
질량이 동일한 공이 각각 동일한 속도로 와서 탄성충돌하였다 결과는 ?
v
v
①
②
v
v
v
v
v
v
v
v
③
④
운동량은 ;
►
문제에서,
총에너지는 ;
►
역학적 에너지와 운동량이 보존되는 경우는 ?
질량이 동일한 공이 각각 동일한 속도로 와서 탄성충돌하였다 결과는 ?
①
②
v
v
v
v
v
v
v
v
③
④
①
총에너지는 ;
운동량은 ;
②
총에너지는 ; 5/2 mv2
운동량은 ; -3mv + 2mv = -mv
③
총에너지는 ;
운동량은 ;
④
총에너지는 ; 3/2 mv2
운동량은 ; -2mv + mv = -mv
예제) 질량 2 kg인 물체가 처음에 10 m/s의 속도로 운동하는 물체가
운동 마찰계수 0.2인 면에서 정지하였다. 이때 마찰면에서 물체가
정지할때까지 이동한 거리는 ? (
단,중력가속도 g = 10 m/s2 임)
►
초기 총역학적에너지는? E =
위치에너지 + 운동에너지
S
►
위치에너지는 =
0
►
초기운동에너지 E
k = ½ × 2kg × (10m/s)
2
= 100 J
►
총역학적에너지가 마찰에의한 일로 모두 소모되면, 정지한다.
►
거리 S
를 이동하면,
마찰에의한 일은;
마찰력 ×
이동거리 =
►
이동 거리 S ;
예제) 질량 2 kg으로 동일한 물체 A,B와 질량 1 kg 인 C가 있다. C는 처음에 정지해
있고 A는 8m/s B는 2m/s로 운동하며 A와 B는 완전비탄성 충돌하였고, 다시 AB는
C
와 완전 비탄성 충돌을 하였다. A의 최종속도와 운동에너지를 구하시오.
A
B
C
v
AB
v
ABC
운동량보존의 법칙;
► 2kg × 8m/s + 2kg × 2m/s = 4 kg × v
AB ► vAB = 5 m/s
운동량보존의 법칙;
► 20 kgm/s = 5kg × v
ABC ► vABC = 4 m/s
► A
의 초기에너지 =
► A
의 최종에너지 =
예제) 질량이 2 kg인 A와 3kg인 B가 용수철에 의해 묶여져 있다가 각각
반대방향으로 튕겨져 나갔다. 이때 A의 속도는 9m/s이다. B는 운동 마찰계수가
0.2
인 면을 지난다. B가 정지하는 위치를 구하시오. (단 g = 10 m/s2
임)
A
B
마찰이 없는 면
k = 0.2
10m
A
B
v
B
9m/s
① v
A 는 ?
►
운동량이 보존의 법칙을 적
용;
►
초기운동량 = 0 (A
와 B
가 정지해 있었음) ►
나중운동량 = 0 (
운동량보존의
법칙)
∴ 0
►
② B 가 정지하는 위치는 ?
►
초기 B
의
총역학적에너지는;
►
►
마찰면에서의 마찰력 f
B= kmBg = 0.2 × 3 kg × 10 m/s
2
= 6 N
► 36J =
km
Bg · S =
② A 가 정지하는 위치는 ?
►
초기 A
의
총역학적에너지는;
►
마찰면에서의 마찰력 f
B= kmAg = 0.2 × 2 kg × 10 m/s
2
= 4 N
►
마찰면에서 10 m 이동하면,
소모에너지는 ;
►
이때 A
의 에너지는; 81 J – 40 J = 51 J
③ 마찰면을 지났을 때 A의 속도는?
►
►
