해석학 5차 퀴즈 시험지

1. 다음 명제의 참, 거짓을 판별하시오. (각 2점)

ㄱ.

ㄴ.

ㄷ.

ㄹ.

ㅁ.

ㅂ. 는 중간값 성질를 만족한다.

그러므로 이 함수를 도함수로 가지는 함수가 존재한다. ( )

2. 다음 명제가 참이면 증명하고 거짓이면 반례를 제시하여 그 이유를 설명하시오.(각 4점)

(1) 가 미분가능하면 은 연속이다.

(2) 함수 에 대하여 이면 를 만족한다.

3. (단, )일 때,

의 극대·극소값을 갖는 점을 구하고 이유를 증명하시오.(4점)

4. 다음 명제가 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 제시하여 그 이유를 설명하시오.(각 4점)

ㄱ. 는 에서 증가한다.

ㄴ. 에서 미분가능이고, 적당한 상수 에 대하여 을 만족하면 이다.

5. 다음은 L'Hospital의 법칙 ‘함수 가 연속이고, 또한 에서 미분가능하며 이라고 하자. 또 의 적당한 근방에서 이고 일 때, (은 실수) 이면, 이다.‘ 을 증명하는 과정이다. 빈 칸에 적당한 내용은? (각 2점)

증명) 을 임의의 실수라 하자. 이므로, 주어진 >0에 대응하는 이 성립한다. 한편, 에 대하여 와 는 구간 위에서 ( ㉠ )의 가정을 모두 만족하므로 를 만족시키는 점 ( ㉡ )가 존재한다. 따라서 ( ㉢ ) 이 성립한다. 그러므로 우극한의 정의에 의하여 이다.

6. 함수 는 에서 연속이고 에서 미분가능하며 이다. 다음을 증명하여라.

6-1. 이 에서 증가함수이면, 가 에서 증가함수임을 보여라.(6점)

6-2. 모든 에 대하여 , 이다. 이 에서 증가함수 일 때, 가 에서 증가함수가 되기 위한 구체적 상수 의 범위를 구하시오.(6점)

해석학 5차 퀴즈 답안지

학번: 이름:

1
2-1
2-2
3
4-1
4-2
5
6-1

6-2번은 뒷면에 풀 것!