2020학년도 목원대학교 수학교육과 3차 졸업시험
수 학(수학교육 영역)
3차 시험	1교시 전공A	7문항 24점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

◦ 밑줄 있는 번호는 3학년이 풀 수 있는 문제

입니다.

기입형 【1∼2】

1. 다음은 피타고라스 정리를 지도하는 예시이다. 이를 반 힐 (P. M. van Hiele)의 교수·학습 단계 이론에 비추어 설명한 <보기> 의 내용 중 적절한 것을 모두 고르시오. [2점]

2. 다음 교사의 의도에 적합한 평가 방법을 쓰고, 주의할 점 1가지를 쓰시오. [2점]

ㄱ. 다른 교과 내용과의 연계성에 따른 수학적 가치의 인식이 가능하고 창의적 사고, 비판적 사고 등과 같은 보다 고차원적 사고 능력을 신장시키고자 한다.

ㄴ. 소그룹 협동학습을 통해 학생들 자신이 속한 집단의 다른 구성원들과 이야기하거나 활동 결과를 학급 전체에 전달함으로써 의사소통 능력을 신장시키고자 한다.

ㄷ. 스스로 문제를 찾고 이를 해결하기 위해 자신의 추론능력이나 알고리즘을 사용하는 능력, 자신의 아이디어를 다른 사람에게 전달하는 능력을 평가하고 싶다.

수학교육 (3면 중 1 면)                     목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼5】

1. 다음은 수업 준비를 위한 교사용 보조 자료이다.

<한 가지 수학적 사실을 정당화하는 두 가지 접근>

밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴에서 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이는 서로 같음을 설명하시오.

(가)

밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴 모양의 종이를 준비한다.

그림과 같이 윗변의 수직이등분선을 따라 접는다.

평행하지 않은 한 쌍의 대변이 일치하므로, 대변의 길이는 서로 같다.

(나)

그림과 같이 [eqn: bar{AD}]⫽[eqn: bar{BC}]이고 [eqn: angleB=angleC]인 사다리꼴 [eqn: ABCD]가 있다. [eqn: barAB =barDC]임을 보이자. 점 [eqn: D]에서 [eqn: BarAB]에 평행한 [eqn: barDE]를 그으면, 동위각의 성질에 의해서 [eqn: AngleDEC=angleB]이다. 그런데 [eqn: angleB=angleC]이므로 [eqn: AngleDEC=angleC]이다. 따라서 [eqn: triangleDEC]는 이등변삼각형이므로 [eqn: barDE =barDC]이다.

또한 [eqn: □ABED]는 평행사변형이므로 [eqn: barAB =barDE]이다.

따라서 [eqn: barAB =barDE]이고 [eqn: barDE =barDC]이므로 [eqn: barAB =barDC]이다.

위의 계획서에서 수학적 사실을 정당화하는 과정에서 두드러지게 나타나는 추론을 기초로 정당화의 지도 방법에 대해, 폴리아(G. Polya)의 관점에서 두 추론의 역할과 반 힐레(P. van Hiele)의 기하 학습 수준 이론에서 학습 수준을 제1수준~제5수준으로 구분할 때, 제3수준과 제4수준이 주는 시사점을 쓰시오. [4점]

2. 김 교사는 사회적 구성주의를 적한 수학 수업을 실천하고자 한다. 다음은  ‘다각형의 내각의 크기의 합’에 관한 수업에서  김 교사와 학생들이 나눈 대화의 일부이다

이 대화 속에서 학생 A와 학생 B는 각기 구별되는 주관적 지식을 제안하였다. 김 교사는 두 학생의 주관적 지식이 합의된 객관적 지식으로 변환해 가도록 안내하려고 한다. 안내 과정을  두 단계로 나누어 김 교사가 각 단계별로 할 수 있는 주요한 질문과 그 질문의 의도를 사회적 구성주의의 관점에서 각각 제시하시오. [4점]

수학교육 (3면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

3. 다음은 통계 수업에서 제시할 내용이다. <문제 2>의 올바른 해결 과정을 서술하고, <문제 3>을 해결한 후 교사가 지도해야 하는 내용으로 올바른 표본조사 방법과 표본조사의 단점을 1가지 쓰시오. [3점]	4. 다음은 박 교사가 학생들의 수학적 추론 능력을 알아보기 위해 제시한 문제이다. <영희의 풀이> 보이는 다섯 개의 수가 1, 4, 6, 7, 9 일 경우, 그리고 1, 3, 6, 7, 10일 경우를 살펴보면, 그 합이 모두 27임을 알 수 있다. 다른 경우도 마찬가지 일 것이므로 답은 27이다. 철수가 제시한 풀이에 나타난 수학적 추론의 유형을 쓰고, 이러한 유형의 추론이 철수의 문제해결 과정에서 어떤 역할을 하였는지 설명하시오. 그리고 철수의 풀이에서 보완되어야 할 점을 기술하시오. [5점] 5. 다음은 학생들의 증명에 대한 생각을 쓴 것이다. 학생 가: 수업시간에 선생님의 증명을 보면 간단 명료하고 심지어 감탄까지 한다니까. 그런데 나혼자 증명을 하려면 어떻게 해야 할지 모르겠어. 학생 나: 평행사변형의 대변의 길이가 같다는 것을 초등학교에서 이미 배웠는데, 중학교에 와서 그것을 왜 증명하는지 이해가 안돼. 두 학생의 증명에 대한 생각과 그 원인을 각각 분석하고, 그 결과를 근거로 증명지도 개선 방안에 관하여 논하시오. [4점] 수학교육 (3면 중 3 면) 목원대학교 수학교육과

2020학년도 목원대학교 수학교육과 3차 졸업시험
수 학(대수 영역)
3차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

◦ 밑줄 있는 번호는 3학년이 풀 수 있는 문제

입니다.

기입형 【1∼4】

1. 실수체 위의 벡터공간 [eqn: VecR^3 ,`` VecR^4]에서 선형사상

[eqn: T: VecR ^{3} `` rarrow `` VecR ^{4}]의 상 [eqn: Im(T`)]이,

[eqn: Im(T`)= LEFT < (1,1,1,1),``(1,0,-1,2) RIGHT >]

일 때 [eqn: T(x,y,z)]를 구하시오. [2점]

2. [eqn: 4x + 5y + 7z =2]의 정수해를 구하시오. [2점]

3. 잉여군 [eqn: VecZ_8 times VecZ_8 / right<(1,2) right>]의 원소 [eqn: (1,1) + left<(1,2)right>]의 위수를 구하시오. [2점]

4. 유클리드정역 [eqn: VecZ[i]]의 원소 [eqn: 2]와 [eqn: 1+3i]의 최대공약수를 모두 구하시오. [2점]

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. 2차곡선 [eqn: -2xy =1]의 표준형을 구하고, 표준형이 원점을 지나는 직선과 만나는 두 점(같을 수 있음)과 만나는 두 점 사이의 최단 거리를 구하시오. [4점]

2. 합동식 [eqn: 8 x^7 == -1 (mod``13)]해를 구하시오. 단 2는 13의 원시근이다. [4점]

3. [eqn: root5 not in VecQ ( root2 )]임을 보이시오. [4점]

4. 체 [eqn: VecQ] 위의 다항식 [eqn: f(x)=x ^{4} +5x ^{2} +6IN VecQ [x]]에 대하여 다음 물음에 답하라. [5점]

(1) [eqn: f(x)]의 분해체를 [eqn: K``]를 구하라. [2점]

(2) 갈로아군 [eqn: G(K/ VecQ)]와 동형인 군을 구하라. [3점]

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

2020학년도 목원대학교 수학교육과 3차 졸업시험
수 학(해석 영역)
3차 시험	3교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 90 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

◦ 밑줄 있는 번호는 3학년이 풀 수 있는 문제

입니다.

기입형 【1∼2】

1. 좌표평면에서 곡선 [eqn: y^2 =|`x`|`]와 직선 [eqn: y=2]로 둘러싸인 부분을 [eqn: D`]라 하고 영역 [eqn: D`]의 경계(boundary)를 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선을 [eqn: C`]라 하자. 선적분 [eqn: int_C{``-y`dx`+`2x`dy}`]의 값을 구하시오. [2점]

2. 함수 [eqn: f(`z)={e^2z -1}over{4`z^3}`]의 [eqn: z=0`]에서의 유수(residue) [eqn: {\Res}`(``f(z)`,``0)`]을 구하시오. [2점]

서술형 【1∼5】

1. 열린구간 [eqn: (0,``2)]에서 연속인 함수 [eqn: f(`x)`]에 대하여, [eqn: (0,``1]`]에서 [eqn: f`'(`x)=g(`x)`]이고 [eqn: [1,``2)`]에서 [eqn: f`'(x)=h(x)`]라고 하자. [eqn: g(1)=h(1)]이면 [eqn: lim _{x` rarrow `1} {`` {f(x)-f(1)} over {x-1}} =g(1)`]임을 보여라. [4점]

2. 실수열 [eqn: {\{}a_n{\}}`]을 [eqn: a_1 =1,~a_n+1 =left(3a_n^2 +1right)^{1over4}~(n ge1)]로 정의하자. [eqn: 1`]보다 큰 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 1<a_n <2`]임을 보이시오. [4점]

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f_n :[`0`,``1]`->`VecR]을 [eqn: f_n (`x)`=int_0^x{`(`x-y)^n``tan^n`xy over 2`}dy`]로 정의하자. 함수열 [eqn: {\{}f_n{\}}]이 [eqn: [`0`,``1]`]에서 어떤 함수로 점별수렴(pointwise convergence)함을 보이시오. [4점]	4. 함수 [eqn: f:VecR`->`VecR`]가 [eqn: f(`x)= cases{`int_0^1{{|`x`|}over{x^2 +t^2}}`dt`,~&x!=0#&#~~~~~0`,&x`=0`]일 때, 극한값 [eqn: lim_{x`->`0}{``f(`x)}]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점] 5. 복소평면의 열린 집합 [eqn: D`]에서 해석적인 함수 [eqn: f:D`->`VecC`]에 대하여, [eqn: r>0`]이고 [eqn: {\{}z`in`VecC``|``|`z-z_0`|le r{\}}subsetD`]이면 [eqn: f(z_0 )= 1over2pi int_0^2pi{f(z_0 +re^"it")}`dt`]임을 증명하시오. [5점] 해석영역 (2면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과

2020학년도 목원대학교 수학교육과 3차 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
3차 시험	4교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 90 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

◦ 밑줄 있는 번호는 3학년이 풀 수 있는 문제

입니다.

기입형 【1∼2】

1. [eqn: VecR ^{3} `]의 곡선 [eqn: {bold{rm alpha }} (t)= LEFT ( t`,``cos`t`,`sin`t` RIGHT )]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [3점]

(1) 점 [eqn: {bold{rm p}} `=`(0,0,0)`]에서의 곡률과 비틀림은? [1.5점]

(2) [eqn: 0 <= t <= 2 pi]일 때, 곡선 [eqn: {bold{rm alpha }} `]의 호길이는? [1.5점]

2. 실수 전체 집합 [eqn: VecR `]의 보통위상을 [eqn: IMAG ` _{u}]라 하자. 실수 [eqn: VecR `]의 위상 [eqn: IMAG]를 함수

[eqn: f``:``( VecR `,` IMAG )` rarrow ( VecR `,` IMAG _{u} )`], [eqn: f(x)`= {cases{-1`&,&~~~~x<0#~x&,&0 <= x <= 1#~2`&,&~~~~x>1}}]

가 연속이 되는 실수의 위상 중 가장 약한 위상이라 하자. 다음 물음에 답하시오. [6점]

(1) 집합 [eqn: (-2,1)` SUBSET `( VecR `, IMAG )`]의 폐포(closure)는? [3점]

(2) 위상공간 [eqn: ( VecR `,` IMAG )]에서 자연수로 이루어진 수열 [eqn: <n>`]은 수렴한다. [eqn: <n>`]의 극한점은? [3점]

서술형 【1∼5】

1. 삼각형이 1개, 사각형이 3개 오각형이 3개인 볼록 다면체의 점의 개수 [eqn: v`]와 변의 개수 [eqn: e`]를 구하고 채색수 [eqn: k`]를 구하시오. [4점]

2. [eqn: a`]를 양의 실수라 하자. 함수 [eqn: f_a (x)=ae^-ax`(x>0)]를 확률밀도함수(probability density function)로 갖는 연속확률변수를 [eqn: X_a`]라 할 때, [eqn: X_a`]의 평균 [eqn: E(X_a )`]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [2점]

위상•미기•이산•확통 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. 연속확률변수 [eqn: X`]가 구간 [eqn: (a,``b)`]에서 균등분포(uniform distribution)를 따른다. [eqn: X`]의 적률생성함수(moment generating function) [eqn: M_X (t)`]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점] 4. [eqn: ℝ ^{3}]에 놓인 곡면 [eqn: M`: LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) ^{2} +y ^{2} +z ^{2} `=`1`]에 대한 다음 물음에 답하시오. [3점] (1) 점 [eqn: {bold{p}} `=`(0,0,1)]에서의 두 주요벡터를 구하시오. [1.5점] (2) 점 [eqn: {bold{rm p}} ``]에서 [eqn: M``]에 접하는 단위벡터 [eqn: {bold{rm u}} `=` LEFT ( {1} over {sqrt {2}} , {1} over {sqrt {2}} `,`0` RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: {bold{rm u}} `]방향 법곡률 [eqn: k( {bold{rm u}} )`]을 구하시오. [1.5점]	5. 임의의 양수 [eqn: r]에 대하여, [eqn: A _{r} = LEFT { (x,y) IN VecR ` ^{2} `vert ```vert`x`vert+vert`y`vert`=`r RIGHT }]이라 하자. 집합 [eqn: beta = LEFT { A _{r} `vert `r` IN ` VecR RIGHT }]을 기저로 하는 [eqn: VecR ^{2}]의 위상을 [eqn: IMAG `]라 하고 [eqn: X=( VecR ^{2} , IMAG )]라 할 때 다음 물음에 답하여라. [6점] (1) 집합 [eqn: B= LEFT { (x,y) IN VecR ^{2} vert 1 LEQ x ^{2} +y ^{2} <2 RIGHT }]의 도집합과 경계를 구하여라. [3점] (2) 집합 [eqn: VecQ TIMES VecQ] 가 [eqn: X]에서 조밀한지 확인하여라. [3점] 위상•미기•이산•확통 (2면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과