2021학년도 목원대학교 수학교육과 1차(3월) 졸업시험
수 학(수학교육 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 24점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. [2점] 다음은 라카토스(I. Lakatos)의 경험주의 수리철학에 대한 두 교사의 대화이다.

전면적 반례에 의해 추측이 비판되었을 때 대응하는 방식 ㉠과 ㉡을 라카토스가 제시한 용어로 순서대로 쓰시오.

2. [3점] 다음은 2015 개정 수학과 교육과정이다. 다음 문장을 완성하시오.

(다) 추론 능력을 함양하기 위한 교수･학습에서는 다음 사항을 강조한다.

① 관찰과 탐구 상황에서 귀납, 유추 등의 개연적 추론을 사용하여 학생 스스로 수학적 사실을 추측하고 적절한 근거에 기초하여 이를 정당화할 수 있게 한다.

② 수학의 개념, 원리, 법칙을 도출하는 과정과 수학적 절차를 논리적으로 수행하게 한다.

③ 추론 과정이 옳은지 비판적으로 평가하고 반성하도록 한다.

나. 평가 방향

(1) 평가 원칙

(가) 수학과의 평가는 학생의 인지적 영역과 정의적 영역에 대한 유용한 정보를 수집･활용하여 학생의 수학 학습과 전인적 성장을 돕고 교사의 수업 방법을 개선하는 것을 목적으로 한다.

서술형 【3∼7】

3. [4점] 다음은 2015 개정 교육과정에 따른 중학교 수학과 교육과정의 수와 연산 영역에 제시된 <교수․학습 방법 및 유의 사항>과 <평가 방법 및 유의 사항>의 일부이다.

셈돌 모델을 이용하여 (+3)-(-2)□를 계산하는 방법을 그림과 함께 설명하고, ㉠ 방법의 한계를 보완하기 위한 지도 방안을 서술하시오. 또 ㉡ 에 해당하는 수학 문제를 하나 제시하시오.

수학교육 (3면 중 1 면)                     목원대학교 수학교육과

4. [2점] 다음은 무한수열의 수렴에 관한 수업에 앞서 최 교사가 교과서와 교사용지도서를 분석하면서 기록한 내용이다. ① 교과서에서는 직관적이고 자연스러운 사고에 따라 무한수열의 수렴을 정의한다. 지난해에 ①과 같이 정의를 배운 학생들 중에 ‘1, 1, 1, …’과 같은 상수수열이 수렴하지 않는다는 오개념을 갖는다. 위에서 최교사가 제시한 오개념의 원인을 ①과 관련하여 구체적으로 설명하시오.	5. [3점] 다음은 피타고라스 정리를 지도하는 예시입니다. <1단계> 학습할 주제를 학생들에게 소개한다. <2단계> 직각 삼각형을 만들고 이 삼각형의 밑변, 높이, 빗변을 한 변으로 갖는 각각의 정사각형 넓이를 구한다.(단, 밑변의 길이와 높이는 양의 정수) <3단계> 다른 직각삼각형을 몇 개 더 만들어 보고 각각의 삼각형에 <2단계>를 실시하여 결과를 모두 다음과 같이 표에 기록한다. <4단계> 표를 보고 정사각형 넓이 사이의 규칙성을 알아본다. <5단계> 직각삼각형의 밑변의 길이, 높이, 빗변의 길이를 각각 [eqn: a,b,c]라 하고 그 각각의 변을 한 변으로 갖는 정사각형 넓이 사이의 규칙성을 식으로 표현한다. 위의 지도 과정 중 <2단계>부터 <3단계>는 폴리아(G. Polya)가 제시하였던 추론 유형 중 ( )에 해당되는 것으로 이러한 추론 유형의 교육적 의의를 쓰시오. 수학교육 (3면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과

6. [5점] 다음은 함수 개념을 도입할 때 사용하는 예이다.

(가) 다음 그림에서 각 나라와 그 나라의 수도를 연결하여라.

(나)매분 2km의 속력으로 직선 운동하는 기차가 P지점을 지난 지 [eqn: x]분 후에 P지점으로부터 [eqn: y]km 떨어진 지점을 지난다. [eqn: x,`y] 관계를 표로 나타내어라.

(나) 넓이가 12[eqn: cm ^{2}]인 직사각형의 가로의 길이가 [eqn: x`cm]이면 세로의 길이는 [eqn: y`cm]이다. [eqn: x,`y] 사이의 관계를 식으로 나타내어라.

역사발생적 원리에 따라 수학 수업을 진행할 때, 수학 교수․학습에서의 의의를 1가지 쓰시오. 또한 이 원리에 따라 함수를 지도할 경우 위에서 제시한 순서를 재구성하고, 2015 개정 수학과 교육과정 중 중학교 1학년 함수에서 변화된 것에 따라 다루어야 하는 내용을 쓰시오.

7. [5점] 고등학교 ‘확률과 통계’ 시간에 학생들에게 다음과 같은 조건부 확률에 대한 문제를 풀 도록 하였다.

10개의 제비 중 4개가 당첨제비라고 한다. 갑이 먼저 제비를 뽑고, 을이 두 번째로 제비를 뽑는다고 할 때, 다음을 구하여라.(단, 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.)

(1) 갑과 을이 모두 당첨제비를 뽑을 확률은?

(2) 갑이 당첨제비를 뽑았을 때, 을이 당첨제비를 뽑을 확률은?

(3) 을이 당첨제비를 뽑았을 때, 갑이 당첨제비를 뽑았을 확률은?

위의 문제 중 (3)에 대해 철수는 다음과 같이 답안을 작성하였다.

철수가 위와 같이 오류를 보인 원인은 무엇인지 쓰시오. 그리고 조건부 확률의 기초적인 아이디어인 일반적인 베이즈 정리를 쓰고 이에 대한 의미를 약술하시오.

수학교육 (3면 중 3 면)                     목원대학교 수학교육과

2021학년도 목원대학교 수학교육과 1차(3월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼4】

1. [2점] 3차 행렬 [eqn: A = pmatrix{1&2&3 #0&1&2#0&2&2}]의 행렬식 [eqn: |A`|]와 역행렬 [eqn: A^-1]를 구하시오.

2. [2점] [eqn: 2 ^{50} +3 ^{50}]를 [eqn: 13]으로 나눈 나머지를 구하시오.

3. [2점] 잉여군 [eqn: VecZ_24]의 원소 중 위수 6인 것의 개수를 구하시오.

4. [2점] 환 [eqn: VecZ_4 times VecZ_6]의 표수를 구하고 모든 단원을 구하시오.

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. [4점] 체 [eqn: F`] 위에서 벡터 [eqn: v_1 , ` v_2 , ` v_3`]에 대하여 [eqn: v_1 , ` v_1 - v_2 , ` v_1 + v_2 + v_3 `]가 1차독립이면 [eqn: v_1 , ` v_2 , ` v_3`]이 [eqn: F`] 위에서 1차독립임을 증명하시오.

2. [4점] 정수 [eqn: n( GEQ 6)]이 합성수이면, [eqn: (n-1)!` == 0`(mod~n)]을 증명하시오.

3. [4점] 정역 [eqn: VecZ[i root5 ]] 위의 곱셈노름 [eqn: N`]은 [eqn: N(a + bi root5 ) = a^2 + 5 b^2]이다. 이때, [eqn: VecZ[i root5 ]]의 원소 [eqn: alpha]가 [eqn: N(alpha) =1]이면 단원임을 증명하고, 3이 기약원임을 증명하시오.

4. [5점] 체 [eqn: VecQ] 위의 다항식 [eqn: f(x)=x ^3 - 2 IN VecQ [x]]의 분해체를 [eqn: K``]를 구하고, 갈로아군 [eqn: G(K/ VecQ)]의 원소 중 위수가 2인 원소의 개수를 구하라.

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

2021학년도 목원대학교 수학교육과 1차(3월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 24점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

서술형 【1∼5】

1. [4점] 주머니 속에 빨강, 파랑, 노랑, 투명 구슬이 각각 10개씩 들어 있을 때, 구슬을 동시에 25개를 꺼내는 방법의 수를 구하시오. (식만 써도 가능)

2. [3점] 표본공간을 [eqn: S`]라 하고 두 이산형 확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]의 주변 확률질량함수(marginal probability mass function)를 각각 [eqn: f_X (`x)`], [eqn: f_Y (`y)`]라 하자. 일대일대응 [eqn: g:X`(`S`)``->Y`(`S`)`]에 대하여, 확률변수 [eqn: g circ X`]의 평균 [eqn: E`(`g circ X`)`]는

[eqn: sum_{x`in`X`(S`)}{g(x)`f_X (x)}]

임을 보이시오.

3. [3점] 연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수(probability density funcion) [eqn: f_X (`x)`]가

[eqn: f_X`(`x)= 2over3 x~(`1<x<2)]

이다. 확률변수 [eqn: Y= 2overX]에 대하여 [eqn: Y`]의 확률밀도함수 [eqn: f_Y (`y)`]를 풀이 과정과 함께 쓰시오.

[4~6]

4. (기입형) 3차원 유클리드 공간 [eqn: ℝ^3 `]에 놓인 곡선 [eqn: C``: `` bold{\ alpha} (t) `:= ( `t`, `t^2 `, t^ 3 `)``]의 [eqn: bold{\ alpha } (0) ` = (0,0,0)]에서의 곡률과 비틀림을 구하시오. (각 1점)

위상•미기•이산•확통 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

5. (서술형) [eqn: ℝ^3]에 놓인 회전면 [eqn: M` `]은 곡선 [eqn: y = x^2 `+` 1`]을 [eqn: x `]축을 회전축으로 하여 회전시킨 회전면이다. 곡면 [eqn: M `]위의 점 [eqn: p`=` ( 0,1,0)`]에서 접벡터 [eqn: bold{\ u} `= left( 1 over sqrt{2} `,` 0 `,` 1 over sqrt{2} ` right)]에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 [eqn: p`]에서의 두 주요벡터를 구하시오.(2점)

(2) 점 [eqn: p``]에서 [eqn: bold{\u}`]방향 법곡률 [eqn: k ( bold{\ {u}} ) `]를 구하시오.(2점)

6.(서술형) [eqn: ℝ^3]에 놓인 곡면 [eqn: M```:`` { bold{\x }} ( u, v) `` = left( 2 `cos u `sin v ``, `` cos u ``cos v ``,`` 2 ``sin u right)] 위의 점 [eqn: p`=` LEFT ( 0,1,0 )`]에서의 평균 곡률을 구하시오. (3점)

기입형 【6】

6.  실수 [eqn: r]에 대해 [eqn: A _{r} = LEFT { (x,y) IN VecR^2```vert ```|x|+|y|=r RIGHT }]이라 하고 집합 [eqn: LEFT { A _{r} `|`r IN VecR RIGHT }]을 기저로 하는 [eqn: VecR ^{2}]상의 위상을 [eqn: IMAG`]라 하자. 이 때 위상공간 [eqn: (`` VecR^2 `,` IMAG {} )`]에서 한 점 집합 [eqn: A= LEFT { (1, 0) RIGHT } `]의 도집합을 구하시오.(3점)

서술형 【7】

7. (서술형) [eqn: VecR `]의 보통위상 [eqn: U]와 함수 [eqn: f: VecR ` -> `VecR `], [eqn: f(x)`=` (x+1) `x`(x-1 ) ``]에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 [eqn: f `:` (VecR `,` ℑ ) `-> `( VecR `,` U )`]가 연속이 되는 [eqn: □`]상의 위상 중 가장 약한 위상 [eqn: ℑ`]의 기저를 제시하시오.(3점)

(2) 위상공간 [eqn: X=(`` VecR `,` IMAG {} )`]에서 점열 [eqn: < (-1)^n >]의 수렴성을 판정하고, 수렴하는 경우에는 모든 수렴점을 구하시오. (2점)

(2) 위상공간 [eqn: X=(`` VecR `,` IMAG {} )`]의 구간 [eqn: (`0`,``1)]의 도집합을 구하시오. (2점)

위상•미기•이산•확통 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

2021학년도 목원대학교 수학교육과 1차(3월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. [2점] 실수 전체의 집합 [eqn: VecR`]의 부분집합 [eqn: D`]에서 정의된 함수열 [eqn: {\{}f_n{\}}`]과 함수 [eqn: f:D``->`VecR`]에 대하여, [eqn: {\{}f_n{\}}`]이 [eqn: D`]에서 [eqn: f`]로 균등수렴(평등수렴, 고른수렴, uniform convergence)한다는 것의 정의(뜻, 의미, definition, meaning)를 쓰시오.

2. [2점] 실수 전체의 집합 [eqn: VecR`]의 부분집합 [eqn: E`]에서 정의된 함수 [eqn: f:E``->`VecR`]에 대하여, [eqn: f`]가 [eqn: E`]에서 균등연속(평등연속, 고른연속, uniform continuity)이라는 것의 정의를 쓰시오.

서술형 【1∼5】

1. [4점] 연속함수 [eqn: f`:`[`0`,``1]``->``[`0`,``1]`]에 대하여, [eqn: f(`a)=a``(`0 le a le 1)`]을 만족하는 [eqn: a`]가 존재함을 증명하시오.

2. [4점] [eqn: a`in`VecR]와 [eqn: VecR`]에서 정의된 두 함수 [eqn: f:VecR`->`VecR]와 [eqn: g:VecR`->`VecR]에 대하여 다음 명제 [eqn: P`]를 증명 또는 반증하시오.

[eqn: P] : 합성함수 [eqn: g circ f`]가 [eqn: x=a`]에서 미분가능하면 두 미분계수 [eqn: f`'(`a)`]와 [eqn: g`'(`f(`a))`]가 모두 존재하고 [eqn: (`g circ f)'(`a)=(g`'`circ f)`(`a)`f`'(`a)]이다.

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. [4점] 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f_n :`[`0`,``1]^{`2}``->``VecR]을 [eqn: f_n (`x,``y)`=`(`x-y)^n`sin^n (`xy)]로 정의하자. 임의의 [eqn: x,``y``in`[`0`,``1]^{`2}]에 대하여 [eqn: lim_{n->infty}{``f_n (`x,``y)}`=`0`]임을 보이시오.

4. [4점] 복소평면의 열린 집합 [eqn: D`]에서 해석적인 함수

[eqn: f:D`->`VecC`]에 대하여, [eqn: r>0`]이고

[eqn: {\{}z`in`VecC``|``|`z-z_0`|le r{\}}subsetD`]이면

[eqn: f(z_0 )= 1over2pi int_0^2pi{f(z_0 +re^"it")}`dt`]임을 증명하시오.

※ 다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

복소함수 [eqn: f(z)`]가 단순닫힌곡선 [eqn: C`]와 그 안쪽에서 해석적이라고 하자. [eqn: C`]의 안쪽에 있는 점 [eqn: z_0`]에 대하여, [eqn: f(`z_0`)`=`1over{2pii}int_C{``{f(`z)}over z-z_0}`dz`]이다.

5. [5점] 복소함수 [eqn: f(z)=z^6 -1`]에 대하여

[eqn: int_C{``{z^3 f`'(z)}over{f(z)}}`dz`]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

여기서 [eqn: C`]는 복소평면에서 점 [eqn: 1over2`]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선이다.

※ 다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

복소함수 [eqn: f(z)`]가 단순닫힌곡선 [eqn: C`]의 안쪽에 있는 유한개의 극점을 제외하고 [eqn: C`]와 그 안쪽에서 해석적이라고 하자. [eqn: C`]와 그 안쪽에 있는 [eqn: f(z)`]의 모든 영점이 [eqn: z_1`,``cdots`,``z_n`]이고 [eqn: f(z)`]의 모든 극점이 [eqn: w_1`,``cdots`,``w_m`]이며 [eqn: z_1`,``cdots`,``z_n] 중 어느 점도 [eqn: C`]위에 있지 않다고 하자. [eqn: g(z)`]가 [eqn: C`]와 그 안쪽에서 해석적일 때, [eqn: 1over{2pii}int_C{``{g(z)f`'(z)}over{f(z)}}`dz`=sum_j=1^n g(z_j )-sum_j=1^m g(w_j )]이다. (단, 각각의 영점과 극점은 각각의 합 안에서 그 중복도 만큼 나타난다.)

해석영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과