2021학년도 목원대학교 수학교육과 추가(6월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
추가(6월) 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼4】

1. [2점] 2차 행렬 [eqn: A = pmatrix{1&2#0&2}]을 대각화하는 행렬 [eqn: P]를 구하시오.

2. [2점] [eqn: 77 x - 63 y = 42]의 양의 정수해 쌍을 모두 구하라.

3. [2점] 잉여군 [eqn: ( VecZ _6 times VecZ_12 )/ ( left<2right> times left< 2 right>)]의 위수를 구하라.

4. [2점] 다항식환 [eqn: VecZ_3 [x]]에서 [eqn: x^4 +2]를 기약다항식의 곱으로 표현하라.

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. [4점] 선형사상

[eqn: T : VecR^3 `` -> ```VecR^3 ,~ T(x,y,z)=(x,` x+y+z,` 2x-y+z)]

의 역함수 [eqn: T```^-1 (x,y,z)]를 구하시오.

2. [4점] 이차 합동식 [eqn: x^2 + 10x +20 == 0 (mod`` 17 cdot 23)]의 정수해의 개수를 구하라

3. [4점] 다항식환 [eqn: VecZ_2 [x]]의 기약다항식 [eqn: x^3 + x^2 +1]의 한 근 [eqn: alpha]를 포함하는 단순확대체를 [eqn: E``]라 할 때, 확대체 [eqn: E``]에서 [eqn: alpha^2 +1]의 곱셈역원을 구하라.

4. [5점] 유리수체 [eqn: VecQ] 위의 다항식 [eqn: f(x) = x^6 +1 in VecQ[x]]의 분해체를 [eqn: E`]라 할 때 갈루아군 [eqn: G(E/ VecQ )]의 위수를 구하라.

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

2021학년도 목원대학교 수학교육과 추가(6월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
추가(6월) 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

서술형 【1∼5】

1. [4점] 다음 점화수열에 대하여 [eqn: a_30] 값을 구하시오.

[eqn: a_n = 2 a_n-1 +3a_n-2 +1 (n>= 2), `` a_0 =0, ``a_1 =1]

2. [3점] A 회사와 B 회사에서 생산하는 전기자동차용 배터리의 수명은 각각 정규분포 [eqn: rm N(2400,``88^{2} )], [eqn: rm N(2300,``60^{2} )]을 따른다고 한다. A 회사의 제품에서 [eqn: 121]개를 임의로 추출한 표본의 평균수명을 [eqn: bar{X``}], B 회사의 제품에서 [eqn: 100]개를 임의로 추출한 표본의 평균수명을 [eqn: bar{Y``}]라 할 때, [eqn: bar{X``}-bar{Y``}]의 분산 [eqn: {\Var}left(`bar{X``}-bar{Y``}right)]는 [eqn: a`]이고, [eqn: rm P it LEFT ( ` {bar{X``}} - {bar{Y``}} LEQ 130 RIGHT ) `= rm P it (Z LEQ b)`]이다. 상수 [eqn: a`]와 [eqn: b`]의 값을 각각 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 배터리 수명의 단위는 [eqn: 100``\km]이고, [eqn: Z]는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.)

3. [3점] 두 개의 부품 ㉮와 ㉯로 구성된 시스템이 있다. 이 시스템의 수명은 작동을 시작한 후 두 부품 중 하나가 고장 날 때까지 걸리는 시간이다. 부품 ㉮가 고장 날 때까지 걸린 시간 [eqn: X`]와 부품 ㉯가 고장 날 때까지 걸린 시간 [eqn: Y`]는 서로 독립이고, 두 확률변수 [eqn: X`], [eqn: Y`]의 확률밀도함수는 각각

[eqn: & f _{X} (x)= {1} over {2} e ^{- {x} over {2}} & ```(`x>0)# & f _{Y} (y)= {1} over {3} e ^{- {y} over {3}} & ```(`y>0)`]

이다. 이 시스템의 수명 [eqn: Z`]에 대하여 확률 [eqn: rm P it (`Z>1)`]을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

4. [4점]   [eqn: ℝ^3]에 놓인 곡면 [eqn: M` `]은 곡선 [eqn: y = x^2 `+` 2`]을 [eqn: x `]축을 회전축으로 하여 회전시킨 회전면이다. [eqn: M `]위의 점 [eqn: p`=` ( 0,1,0)`]에서 단위 접벡터 [eqn: bold{\ u} `= left( 1 over {2} `,` 0 `,` sqrt{3} over {2} ` right)]에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 [eqn: p`]에서의 두 주요곡률을 구하시오.(2점)

(2) 점 [eqn: p``]에서 [eqn: bold{\u}`]방향 법곡률 [eqn: k ( bold{\ {u}} ) `]를 구하시오.(2점)

위상•미기•이산•확통 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

5. [3점]

[eqn: ℝ^3]에 놓인 곡면 [eqn: M```:`` { bold{\x }} ( u, v) `` = left( 2 `cos u `sin v ``, `` cos u ``cos v ``,`` 2 ``sin u right)] 위의 점 [eqn: p`=` LEFT ( 0,1,0 )`]에서의 가우스 곡률을 구하시오.

기입형 【6】

6. [7점]

[eqn: VecR `]의 하한위상 [eqn: ℑ_0 `]와 함수 [eqn: f: VecR ` -> `VecR `], [eqn: f(x)`=` x^2 ``]에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 [eqn: f `:` (VecR `,` ℑ ) `-> `( VecR `,` ℑ_0 ` )`]가 연속이 되는 [eqn: □`]상의 위상 중 가장 약한 위상을 [eqn: ℑ`]라 할 때 [eqn: ℑ`]의 기저를 구하시오. (3점)

(2) 위상공간 [eqn: X=(`` VecR `,` IMAG {} )`]에서 점열 [eqn: < (-1)^n >]의 수렴성을 판정하고, 수렴하는 경우에는 모든 수렴점을 구하시오. (2점)

(3) 위상공간 [eqn: X=(`` VecR `,` IMAG {} )`]에서 집합 [eqn: (`-1`,``2]]의 폐포를 구하시오. (2점)

단답형 【7∼8】

7. [2점]

3차원 유클리드 공간 [eqn: ℝ^3 `]에 놓인 두 꽈배기선 [eqn: C_1 ``: `` bold{\ alpha} (t) `:= ( `cos t`, `sin t `, t `)``]과

[eqn: C_2 ``: `` bold{\ beta} (t) `:= ( `cos t`, `sin t `, 2 t `)``]의 곡률과 비틀림을 각각 [eqn: kappa_i ``,~ tau_i ``(,~i = 1,2)]라 할 때, 이들의 대소관계를 비교하시오.

8. [3점]

[eqn: VecR]상의 여유한 위상을 [eqn: IMAG`]라 하자. 이 때 위상공간 [eqn: (`` VecR `,` IMAG {} )`]에서 한 점 집합 [eqn: A= LEFT { 0 right} `]의 폐포를 구하시오.

위상•미기•이산•확통 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

2021학년도 목원대학교 수학교육과 추가(6월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
추가(6월) 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. [2점] 실수열 [eqn: lbrace x_n rbrace]이 코시수열(Cauchy sequence)이라는 것의 정의(뜻, 의미, definition, meaning)를 쓰시오.

2. [2점] 함수 [eqn: f:[`a,``b]` rarrow ` VecR]가 유계라고 하자. 구간 [eqn: [a,``b]]의 분할 [eqn: P=lbracex _{0} ,``x _{1} ,``x _{2} , CDOTS ,``x _{n}rbrace]에 대한 [eqn: f`]의 리만 상합(upper Riemann sum) [eqn: U`(`f,``P`)]의 정의를 쓰시오.

서술형 【1∼5】

1. [4점] [eqn: lbrace x_n rbrace]이 위로 유계인 증가수열일 때, [eqn: lbrace x_n rbrace]은 [eqn: {\sup}_{`n IN VecN } ``x _{n}]으로 수렴함을 증명하시오.

2. [4점] 함수 [eqn: f:[`a,``b]` rarrow ` VecR]가 점 [eqn: c in(a,``b)]에서 극댓값을 갖고 [eqn: f`'(c)]가 존재하면 [eqn: f` prime (c)=0]임을 증명하시오.

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. [4점] 함수 [eqn: f(x`,``y)= {1} over {sqrt {x ^{2} +y ^{2}} }]에 대하여 다음 적분의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오. [eqn: int _{{1} over {sqrt {2}}} ^{1} {` int _{sqrt {1-y ^{2}}} ^{y} {`lbrace``f(x`,``y)-1rbrace} `dx`} dy][eqn: +int_1^root2{int_0^y{`f(x`,``y)}`dx`}dy][eqn: `+int_{root2}^2{int_0^root4-y^2{`f(x`,``y)}`dx`}dy]	4. [4점] 복소수 전체의 집합 [eqn: VecC]에서 [eqn: VecC]로의 정함수(entire function) [eqn: f]가 모든 [eqn: z`in`VecC]에 대하여 두 조건 [eqn: LEFT | f(z) RIGHT | ` LEQ `3 LEFT | ze ^{z} RIGHT | ,````f prime (1)=2] 을 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. 5. [5점] 복소함수 [eqn: f(z)=z ^4 -1`]에 대하여 [eqn: int _{C} ^{} {`` {z ^2 f` prime (z)} over {f(z)}} `dz`]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. 여기서 [eqn: C`]는 복소평면에서 점 [eqn: 1over2`]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선이다. 해석영역 (2면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과