2021학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(수학교육 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. [2점] 다음 그림은 실세계 상황을 수학적 모델로 표현하여 문제를 해결하는 수학적 모델링 과정이다.

아래에 제시된 실세계 상황과 이 상황으로부터 구성된

문제를 중학교 수준에서 해결하기 위한 수학적 모델을

2가지 제시하시오.

실세계 상황 : 철수는 생일을 맞이하여 친구 5명을 생일모임에 초대하였다. 모임에 참석한 6명이 서로 악수를 나누고 있다.

문제 : 모임에 참석한 6명이 빠지지 않고 모두 악수를 할 때 악수는 몇 번 이루어지는가?

2. [4점] 다음은 수학문제해결 교육과 관련하여 교사들이 주고받은 대화의 일부이다.

(1) 문제해결 지도를 위한 문제들은 실생활로부터 만들어진 문장제이어야 합니다.

(2) 해법이 다양한 문제일수록 그 문제는 문제해결 지도에 적합한 문재가 된다고 생각합니다.

(3) 수학교과서에 나오는 전형적인 문제들도 적절히 변형시키면 문제해결 지도에 적합한 문제로 활용할 수 있다고 생각합니다.

(4) 문제해결을 잘하기 위해서 수학 교과서에서 흔히 보는 연습문제는 풀 필요가 없다고 생각합니다.

대화 내용 중 문제해결 교육과 관련하여 옳지 않게 말한 대화의 번호를 쓰고, 옳지 않다고 생각하는 이유를 쓰시오.

서술형 【3∼7】

3. [4점] 2015 수학과 개정 교육과정에서 수학 학습 평가는 ① 학생 개개인의 수학 학습과 전인적 성장을 돕고, ② 교사 자신의 수업 방법을 개선하는데 기여하는 것을 명시하고 있다. 다음 문항을 위에 기술한 평가 목적에 보다 부합하도록 재구성하고, 재구성한 근거를 ①, ②의 관점에서 문항 내용과 관련지어 서술하시오.(단, 문항을 재구성할 때 주어진 명제는 변형하지 않는다)

다음 명제의 참, 거짓을 판별하시오.  답:______

명제: 이차함수 [eqn: y=ax ^{2} `+bx`+c]는 [eqn: x]절편과 [eqn: y]절편을 모두 갖는다.

수학교육 (3면 중 1 면)                     목원대학교 수학교육과

4. [4점] 강 교사는 “기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는 서로 평행하거나 일치한다”는 학습 내용을 지도하려고 한다. 다음은 강 교사가 수업에 사용하기 위해 만든 학습 자료와 그 학습 자료를 활용한 학습 활동에 대한 계획이다. 지도하려는 학습 내용에 대한 강 교사의 수업 계획을 수학적 다양성의 원리의 관점에서 평가하고, 공학적 도구를 사용할 경우, 유의할 할 점 2가지를 제시하시오.	5. [4점] 다음은 수학과 교육과정의 평가 항목에서 제시하고 있는 내용의 일부이다 ① 객관식 선다형 위주의 평가를 지양하고 ② 서술형 지필 검사, 관찰, 면담 등 다양한 평가 방법을 활용하여 종합적인 수학 학습 평가가 이루어질 수 있게 한다. 수학과 교육과정에서 제시하고 있는 수학 학습 평가의 목적을 학생과 교사의 측면에서 각각 쓰고, 수학 학습 평가에서 ①에 비해 ②가 갖는 장점을 인지적 영역과 정의적 영역의 측면에서 각각 쓰시오. 수학교육 (3면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과

6. [3점] 다음은 통계 수업에서 제시할 내용이다. <문제 2>의 올바른 해결 과정을 서술하고, <문제 3>을 해결한 후 교사가 지도해야 하는 내용으로 올바른 표본조사 방법과 표본조사의 단점을 1가지 쓰시오.[	7. [4점] 다음은 학생들의 증명에 대한 생각을 쓴 것이다. 학생 가: 수업시간에 선생님의 증명을 보면 간단 명료하고 심지어 감탄까지 한다니까. 그런데 나혼자 증명을 하려면 어떻게 해야 할지 모르겠어. 학생 나: 평행사변형의 대변의 길이가 같다는 것을 초등학교에서 이미 배웠는데, 중학교에 와서 그것을 왜 증명하는지 이해가 안돼. 두 학생의 증명에 대한 생각과 그 원인을 각각 분석하고, 그 결과를 근거로 증명지도 개선 방안에 관하여 논하시오 수학교육 (3면 중 3 면) 목원대학교 수학교육과

2021학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼4】

1. [2점] 선형사상

[eqn: T: VecR ^{3} `` rarrow ``` VecR ^{3} ,~T(x,y,z)=(x+y-z,``y,``x-z)]

의 상 [eqn: Im(T`)]의 차원을 구하시오..

2. [2점] [eqn: p-q =3`]을 만족하는 모든 소수 쌍 [eqn: p,``q`]를 구하시오.

3. [2점] 군 [eqn: G`]의 원소 [eqn: a`]의 위수가 [eqn: 12]0일 때 [eqn: a^10]의 위수를 구하시오.

4. [2점] 기약다항식 [eqn: irr( root 2 - root 3 , VecQ )]를 구하시오.

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. [4점] 2차곡선 [eqn: 3x^2 + 2xy +3 y^2 =4]의 표준형을 구하고, 표준형이 원점을 지나는 직선과 두 점에서 만날 때, 만나는 두 점 사이의 최단 거리를 구하시오.

2. [4점]  이차 합동식 [eqn: 3 x ^{2} + 9 x+7 == 0(mod``13)]의 해를 구하시오.

3. [4점] 단위원 1을 가진 가환환 [eqn: R`]의 아이디얼 [eqn: M( not= R)]에 대하여 잉여환 [eqn: R/M`]이 체이면 [eqn: M`]은 [eqn: R`]의 극대 아이디얼임을 증명하시오.

4. [5점] 유한체 [eqn: VecZ _{2} = VecF _{2} = \{0,1 \}] 위의 다항식 [eqn: f(x)=x ^{2} +x +1 IN VecF_2 [x]]의 분해체를 [eqn: E`]라 할 때 [eqn: E = VecF_4]임을 보이고 갈루아군 [eqn: G(E/ VecQ )]의 위수를 구하시오.

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

2021학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

서술형 【1∼5】

1. [4점] 어느 과수원에서 사과, 배, 감, 대추를 30개 수확하는데 대추를 3개 이상 수확하는 방법의 수를 구하시오. (답은 식만 써도 가능)

2. [3점] 확률변수 [eqn: X]가 구간 [eqn: (0,`2)]에서 균등분포(uniform distribution)를 따른다. 확률변수 [eqn: Y]를 [eqn: Y=3`ln LEFT ( {2} over {2-X} RIGHT )]이라 할 때, [eqn: Y]의 누적분포함수(cumulative distribution function) [eqn: F_Y (y)=P(Y le y)]를 풀이 과정과 함께 쓰시오.

3. [3점] 두 이산확률변수 [eqn: X`,Y`]의 결합확률분포가 다음과 같다.

[eqn: Y] [eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]
[eqn: 0]	[eqn: 1over15]	[eqn: 2over15]	[eqn: 0]	[eqn: 1over5]
[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 1over5]	[eqn: 2over15]	[eqn: 1over15]
[eqn: 2]	[eqn: 1over15]	[eqn: 1over15]	[eqn: 1over15]	[eqn: 0]

조건 [eqn: Y=2]이 주어졌을 때, 확률변수 [eqn: X]의 조건부기댓값(conditional expectation) [eqn: E`[`X``|Y=2]]를 구하시오.

[4~5]

4. [4점](서술형) [eqn: ℝ^3]에 놓인 곡면 [eqn: M` `]은 곡선 [eqn: y = x^2 `+` 2`]을 [eqn: x `]축을 회전축으로 하여 회전시킨 회전면이다. [eqn: M `]위의 점 [eqn: p`=` ( 0,1,0)`]에서 단위 접벡터 [eqn: bold{\ u} `= left( 1 over {2} `,` 0 `,` sqrt{3} over {2} ` right)]에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 [eqn: p`]에서 [eqn: bold{\ u} `]방향 법절단곡선의 매개변수방정식을 제시하시오. (2점)

(2) 점 [eqn: p``]에서 [eqn: bold{\u}`]방향 법곡률 [eqn: k ( bold{\ {u}} ) `]를 구하시오. (2점)

위상•미기•이산•확통 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

5. [3점]

[eqn: ℝ^3]에 놓인 세 곡면

[eqn: M_1```:`` { bold{\x }} ( u, v) `` = left( `cos u `, `sin u `,`v right)],

[eqn: M_2 ```:`` { bold{\x }} ( u, v) `` = left( `cos u `cos v ``, `` cos u ``sin v ``,`` sin u right)],

[eqn: M _{3} ```:`` {bold{rm x}} (u,v)``= LEFT ( ` it{u}```,``v +1 ``,``u^2 + v^2 RIGHT )]

위의 점 [eqn: p`=` LEFT ( 0,1,0 )`]에서의 가우스 곡률을 각각 [eqn: K_1 `,`K_2 `,` K_3 `]이라 할 때, [eqn: K_1 `+`K_2 `+` K_3 `]을 구하시오.

기입형 【6】

6. [2점] (기입형) 3차원 유클리드 공간 [eqn: ℝ^3 `]에 놓인 곡선 [eqn: {bold{rm alpha }} `=` {bold{rm alpha }} (t)`]의 곡률과 비틀림을 각각 [eqn: kappa (t)``,~ tau(t) ``]라 하자. 곡선 [eqn: bold{ alpha}_1 (t) `:=` bold{ alpha} (-t )]과 [eqn: bold{ alpha}_2 (t) `:=` bold{ alpha} (2 t )]의 곡률과 비틀림 [eqn: kappa_i ``,~ tau_i ``(,~i = 1,2)]을 [eqn: kappa (t)``,~ tau(t) ``]로 표현하시오.

서술형 【7∼8】

[eqn: VecR ` ^{2}] 상의 보통위상 [eqn: U]에 대해 [eqn: Y=(VecR^2 ,U)]라 하자. 실수 집합 [eqn: □`]에서 함수 [eqn: f: VecR ` -> `Y`]을

[eqn: f(x)=(cos4x,sin4x)]

로 정의하자. 그리고 [eqn: □`]상의 위상을

[eqn: ℑ`]=[eqn: LEFT { `f ^{`-1} (G`)``|``G` IN U` RIGHT }]

로 정의 하자. 위상공간 [eqn: X=(`` VecR `,` IMAG {} )`]에 대하여 다음 물음에 답하시오.

7. [3점] 점렬 [eqn: < {1} over {n} >] 의 수렴성을 판단하고 수렴하는 경우에는 모든 수렴점을 구하시오.

8. [3점] 부분집합 [eqn: A= LEFT { 0 RIGHT }]의 도집합을 구하시오.

위상•미기•이산•확통 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

2021학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. [2점] 좌표평면에서 곡선 [eqn: y^3 =x^2`]과 직선 [eqn: y=2]로 둘러싸인 부분을 [eqn: D`]라 하고 영역 [eqn: D`]의 경계(boundary)를 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선을 [eqn: C`]라 하자. 선적분 [eqn: int_C{``-y`dx`+`x`dy}`]의 값을 구하시오.

2. [2점] 정의역이 열린 구간 [eqn: (-1`,``1)]인 함수 [eqn: f(x)= {e ^{x}} over {1-x} `]의  [eqn: x=0`]에서의 [eqn: 2]차 테일러 다항식을 구하시오.

서술형 【1∼5】

1. [4점] 연속함수 [eqn: f`:`[`0`,``1]``->``[`0`,``1]`]에 대하여, [eqn: f(a)=a``(`0 le a le 1)`]을 만족하는 [eqn: a`]가 존재함을 증명하시오.

2. [4점] 다음을 증명 또는 반증하시오. [각 2점]

(1) 실함수 [eqn: f]가 두 구간 [eqn: (`0`,``1),~(`1`,``2)]에서 각각 균등연속(고른연속, 평등연속, uniform continuity)이면, [eqn: (`0`,``2)-□1□]에서도 균등연속이다.

(2) 실함수 [eqn: f]가 두 구간 [eqn: (`0`,``1),~[`1`,``2)]에서 각각 균등연속이면, [eqn: (`0`,``2)]에서도 균등연속이다.

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. [4점] 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f_{n} :[`0,`1]` rarrow ` VecR]을 [eqn: f _{n} (x)=x^2 + int _{0} ^{x} {sin ^{n} (xy)} `dy]로 정의하자. 함수열 [eqn: lbracef _{n} □]이 [eqn: [0,`1]]에서 어떤 함수로 균등수렴(고른수렴, 평등수렴, uniform convergence)함을 보이시오.	4. [4점] 복소평면에서 곡선 [eqn: C`]가 [eqn: C:`z(t)= {cases{``e ^{i pi t} `,&0` LEQ t LEQ `1#``t-2`,``&1`<`t LEQ `3`}}`]일 때, 복소적분 [eqn: int _{C}{`bar {z`}} dz`]의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: x,``y`]는 실수이고 [eqn: z=x+iy`]는 복소수이다.) 5. [5점] [eqn: 0< theta < 2pi]일 때, [eqn: 1+cos` theta +cos`2 theta = {1} over {2} + {sin {5 theta } over {2}} over {2`sin {theta } over {2}}]임을 보이시오. 해석영역 (2면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과