2021학년도 목원대학교 수학교육과 3차(11월) 졸업시험
수 학(수학교육 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 각 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. [2점] 다음 그림은 실세계 상황을 수학적 모델로 표현하여 문제를 해결하는 수학적 모델링 과정이다.

아래에 제시된 실세계 상황과 이 상황으로부터 구성된

문제를 중학교 수준에서 해결하기 위한 수학적 모델을

2가지 제시하시오.

실세계 상황 : 철수는 생일을 맞이하여 친구 5명을 생일모임에 초대하였다. 모임에 참석한 6명이 서로 악수를 나누고 있다.

문제 : 모임에 참석한 6명이 빠지지 않고 모두 악수를 할 때 악수는 몇 번 이루어지는가?

2. [2점] 다음은 각기둥의 부피를 지도하는 과정에 대한 예비교사의 수업 설계이다.

㉠ 새롭게 학습할 내용에 관한 ‘관련 정착 아이디어’가 될 수 있는 내용(각기둥과 각뿔, 겉넓이와 부피, 다면체와 회전체 등)들을 파악하여 선수지식의 유무를 파악하고 선행조직자를 준비한다.

㉡ 각기둥의 부피를 삼각기둥의 부피로 쪼개어 구할 수 있다는 점을 이해할 수 있도록 일상생활에서 다양한 예시를 제시하여 학생의 유의미한 학습이 촉지될 수 있도록 한다.

㉢ 각기둥을 삼각기둥으로 나누는 과정에서 가장 일반적이고 조건이 적은 사각기둥에서 시작하여 꼭짓점, 모서리, 면의 개수가 늘어난 오각기둥, 육각기둥 순으로 문제를 제시한다.

㉣ 삼각기둥의 부피를 구하는 것으로부터 각기둥의 부피를 구하는 방법이 (밑넓이)×(높이)임을 일반화하는 설명을 한다. 이 때, 삼각기둥의 부피와 각기둥의 부피를 구하는 방법은 밑넓이를 구하는 방법에 따라 차이가 있음을 명확하게 설명한다.

㉢과 ㉣에서 교사가 반영한 오스벨의 유의미한 수용학습을 위한 교수전략을 각각 쓰시오.

서술형 【3∼7】

3. [4점] 다음은 김 교사의 교수․학습 지도안에 하여 교사들이 나눈 대화이다.

김 교사가 교수․학습 지도안에서 스프레드시트를 이용한 근거를 ㉠의 구체인 내용으로 제시하시오. 그리고 브루소(G. Brousseau)의 교수학 상황론에서 ㉡을 설명할 수 있는 극단적인 교수 현상을 쓰고, 그 현상을 ㉡의 상황과 관련지어 설명하시오.

수학교육 (3면 중 1 면)                     목원대학교 수학교육과

4. [3점] 다음은 폴리아(G. Polya)의 수학 문제해결 교육론에 근거해 어떤 문제를 해결하는 과정의 일부이다.

문제해결 과정에서는 수학 발견술인 분석법이 사용되고 있다. <계획 단계>와 <실행 단계>에서 분석법이 어떻게 사용되고 있는지 각각 설명하시오.

5. [4점]  개념 이미지와 개념 정의의 상호작용 방식 중 직관적 반응 방식은 개념 이미지가 입력되어 개념 이미지가 출력되는 방식이다. 수열의 극한을 다룰 때 수열을 수직선 또는 좌표평면에 나타내면 학생들의 이해를 돕기도 하지만 직관적 반응 방식으로 극한에 대한 오개념이 형성되기도 한다. 아래의 내용은 고등학생 민경이가 수열의 극한값을 구하는 과정의 예시이다.

민경이는 [eqn: LEFT { 1+ {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n+1}} over {n} RIGHT }]의 극한값을 구하는 문제를 해결하는 과정에서 수열 [eqn: LEFT { 1+ {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n+1}} over {n} RIGHT }]의 그래프를 다음과 같이 그리고

이 그래프에서 진동하는 수열의 개념이미지를 먼저 떠올린 후에 수열 [eqn: LEFT { 1+ {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n+1}} over {n} RIGHT }]은 [eqn: n]이 한없이 커짐에 따라 계속 진동하고 있다고 판단한다. 그 후 ‘교대수열은 진동하기 때문에 극한값이 없다’고 잘못 답하였다.

민경이의 해결과정은 개념 이미지와 개념 정의의 상호작용 방식 중 직관적 반응에 해당된다. 민경이의 문제해결 과정을 개념 이미지와 개념 정의의 상호작용에 의한 바람직한 해결과정으로 서술하시오.

수학교육 (3면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

6. [3점] 다음은 통계 수업에서 제시할 내용이다.

[문제] 지민이네 모둠은 우리나라 역사 인물 중 우리학교 학생들이 가장 존경하는 인물을 알아보기로 하였다. 이를 위하여 표본조사를 할 때 다음 중 누구의 방법이 가장 합리적인지 생각해봅시다.

학생 1: 역사 동아리 학생을 대상으로 조사한다.

학생 2: 신청한 학생들을 대상으로 조사한다.

학생 3: 상자에 전교생의 이름이 적힌 쪽지를 넣은 후 이 상자에서 쪽지를 뽑아 나온 명단의 학생들을 대상으로 조사한다.

[문제]의 올바른 해결 과정을 서술하고, [문제]를 해결 한 후 교사가 지도해야 하는 내용으로 올바른 표본조사 방법에 대해 설명하시오. 또한 이 수업에서 교사는 2015 개정 수학과 교육과정에서 <확률과 통계> 영역에 제시된 교수학습 유의사항 중 어느 요소를 반영하여 지도해야 하는지를 쓰시오.

7. [3점] 신교사는 <수열의 수렴과 발산>을 지도한 후 아래와 같이 ‘진동하는 수열’에 대한 탐구주제로 수업을 하였다.

<주제: 진동하는 수열>

교사: 진동하는 수열에 대한 여러분의 생각을 발표하도록 하죠.

학생 1: 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀝니다.

학생 2: 진동하는 수열의 각 항의 값은 항상 교대로 반복합니다.

학생 3: 양수와 음수가 교대로 반복되어 나타나면 항상 진동하는 수열입니다.

학생 1: [eqn: (-1) ^{n}]과 같은 수열은 –1, 1, -1, 1, -1, … 이므로 진동하고 있어요. 그러니까 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀌는 것이 맞습니다.

학생 2: 그럼 내 생각대로 진동하는 수열의 각 항의 값도 –1, 1, -1, 1 과 같이 항상 교대로 반족하는 것이 옳을까요?

<중략>

교사: 토론을 통해서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 n이 한없이 커짐에 따라 일반항 [eqn: a _{n}]의 값이 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 수열은 진동한다고 합니다. 지금 여러분이 발견한 내용을 정리하면 진동하는 수열이라고 해서 항상 각 항의 부호가 바뀌는 것은 아니고, 항상 일정한 값이 반복되어 나타나는 것도 아닙니다. 또 양수와 음수가 반복되어 나타난다고 해서 항상 진동하는 수열이라고 할 수 없어요.

위의 수업에서 사회적 구성주의의 지식의 구성 과정에 따라 <중략> 부분에서 학생들의 지식을 재구성하는 과정을 쓰시오.

8.  [4점] 다음은 중학교 2학년 확률의 뜻을 배운 후 문제를 해결하는 과정이다.

<문제 1> 동전 2개를 던질 때 앞면이 나올 확률을 구하여라

<문제 2> 주사위를 한 번 던졌을 때, 1의 눈이 나올 확률을 구하여라

지형: 동전 2개를 던지면 모두 앞면이 나오는 경우, 앞면이 1개 나오는 경우, 모두 뒷면이 나오는 경우의 3가지가 있으므로 구하는 확률은 [eqn: {1} over {3}]이야.

현정: 그럼 네 풀이 방법대로 하면 주사위를 한 번 던졌을 때, 1의 눈이 나올 확률이 무엇이라고 생하니?

지형: 당연히 주사위를 던졌을 때, 1의 눈이 나올 수도 있고 나오지 않을 수도 있기 때문에 1의 눈이 나올 확률은 [eqn: {1} over {2}]이다. 어떤 사건이 일어나는 경우와 일어나지 않는 경우로 생각할 수 있기 때문이야.

현정: 지형이의 풀이는 우리가 확률의 뜻을 배울 때 선생님께 강조하였던 ‘각 경우는 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대된다.’라는 조건을 만족하지 않는 것 같아.

지형: 잘 이해가 안가... 왜 내 풀이방법이 틀렸는지 설명해 줄래?

지형이가 확률 개념에 대해 가지는 오개념을 분석하고 정육면체 주사위와 직육면체 주사위를 사용하여 지형이의 오개념을 지도할 수 있는 방안을 쓰시오.

수학교육 (3면 중 3 면)                     목원대학교 수학교육과

2021학년도 목원대학교 수학교육과 3차(11월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 각 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼4】

1. [2점] 유클리드 공간 [eqn: VecR ^{3}]의 순서기저 [eqn: B= \{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) \}]에 대한 정규직교기저를 구하시오.

2. [2점] [eqn: 16x - 52 y = 44]의 모든 정수해를 구하시오.

3. [2점] 군 [eqn: G`]의 원소 [eqn: a`]의 위수가 15일 때 [eqn: a ^{9k} =e`]가 되는 최소 양의 정수 [eqn: k`]를 구하시오.

4. [2점] 환 [eqn: VecZ_16] 위에서 환 준동형 사상의 개수를 구하시오.

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. [4점] [eqn: F`]-내적공간 [eqn: V] 위의 선형사상 [eqn: T: V`` -> V`]의 서로 다른 고윳값 [eqn: r,`s`]에 대응하는 고유벡터 [eqn: v,``w`]는 1차 독립임을 보이시오.

2. [4점] 자연수 11의 배수중 2, 3, 5, 7로 나누었을 때 나머지가 각각 1인 최소양의 정수를 구하시오.

3. [4점] 다항식 [eqn: f(x) = 2 x +3 in VecZ[x]]는 [eqn: VecZ`] 위에서 기약임을 증명하시오.

4. [5점] 유리수 체 [eqn: VecQ`] 위의 다항식 [eqn: f(x) = (x^2 -2) (x^3 -1)]의 분해체 [eqn: K`]를 구하고, 갈루아 군 [eqn: G(K/ VecQ )]와 동형인 군을 구하시오.

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

2021학년도 목원대학교 수학교육과 3차(11월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 각 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

서술형 【1∼5】

1. [4점] 꼭짓점이 10개인 단순 평면 그래프에서 차수가 2인 점이 2개 나머지 차수가 모두 3일 때 변의 개수 [eqn: e]와 면의 개수 [eqn: f`]를 구하시오.

2. [3점] A 회사와 B 회사에서 생산하는 전기자동차용 배터리의 수명은 각각 정규분포 [eqn: rm N(3500,``88 ^{2} )], [eqn: rm N(3300,``72 ^{2} )]을 따른다고 한다. A 회사의 제품에서 [eqn: 121]개를 임의로 추출한 표본의 평균수명을 [eqn: bar{X``}], B 회사의 제품에서 [eqn: 144]개를 임의로 추출한 표본의 평균수명을 [eqn: bar{Y``}]라 할 때, [eqn: bar{X``}-bar{Y``}]의 분산 [eqn: {\Var}left(`bar{X``}-bar{Y``}right)]는 [eqn: a`]이고, [eqn: rm P it LEFT ( ` {bar{X``}} - {bar{Y``}} ` LEQ 210 RIGHT ) `= rm P it (Z LEQ b)`]이다. 상수 [eqn: a`]와 [eqn: b`]의 값을 각각 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: Z]는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.)

3. [3점] [eqn: X _{1} ,``X _{2}]를 균등분포(uniform distribution) [eqn: Unif(`0,`1)]로부터의 확률표본(random sample)이라 하고, [eqn: Y`]를 [eqn: X _{1} ,``X _{2}]의 중앙값(median)이라 하자. 이때 [eqn: Y`]의 누적분포함수(cumulative distribution function) [eqn: F_Y (y)=P(Y le y)]를 풀이 과정과 함께 쓰시오.

[4~5] 실수 집합 [eqn: VecR] 상에 다음 조건에 의해 정의되는 부분집합족 [eqn: BETA]를 기저로 하는 위상 [eqn: IMAG]가 주어져 있을 때 위상공간 [eqn: (`VecR, IMAG )]에 대해 다음 물음에 답하시오.

조건: 모든 정수 [eqn: n]과 음이 아닌 정수 [eqn: k]에 대해

[eqn: [n,n+2 ^{-k} ) IN BETA] 이다.

4. [3점] 집합 [eqn: A= LEFT { 0, {1} over {2} , {11} over {3} RIGHT }]의 도집합을 구하시오.

위상•미기•이산•확통 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

5. [3점] 컴팩트이면서 유한집합이 아닌 가산집합의 예를 들어보시오.

기입형 【6】

6. [2점]

(기입형) 3차원 유클리드 공간 [eqn: ℝ^3 `]에 놓인 구
[eqn: M `=`left{(x,y,z) `in` ℝ^3 ``vert`` x^2 + y^2 + z^2 = 1 right}]

위에 단위속력곡선 [eqn: gamma ``:`` [0,1] `-> ` M `]이 있다. 점 [eqn: gamma (s) `]에서 [eqn: gamma ``]의 종법선벡터 [eqn: B(s) `]와 [eqn: M`]의 법선벡터를 [eqn: n(s) `]가 모든 [eqn: s `in` [0`,`1]`]에 대하여 [eqn: B(s ) cdot n(s) `=` 0 `]을 만족할 때, [eqn: gamma `]의 비틀림과 곡률을 구하시오. (2점)

서술형 【7∼8】

7. [4점]  (서술형) [eqn: ℝ^3]에 놓인 곡면 [eqn: M` `]은 곡선 [eqn: y = x^2 `+` 2`]을 [eqn: x `]축을 회전축으로 하여 회전시킨 회전면이다. [eqn: M `]위의 점 [eqn: p`=` ( 0,2,0)`]에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 [eqn: p`]에서 주요 곡률을 모두 제시하시오. (2점)

(2) 점 [eqn: p``]에서 [eqn: bold{\ u} `= left( 1 over {2} `,` 0 `,` sqrt{3} over {2} ` right)] 방향 법곡률 [eqn: k ( bold{\ {u}} ) `]를 구하시오. (2점)

8. [3점]  [eqn: ℝ^3]에 놓인 세 곡면

[eqn: M_1```:`` { bold{\x }} ( u, v) `` = left( `cos u `, `sin u `,`v right)],

[eqn: M_2 ```:`` { bold{\x }} ( u, v) `` = left( `cos u `cos v ``, `` cos u ``sin v ``,`` sin u right)],

[eqn: M _{3} ```:`` {bold{rm x}} (u,v)``= LEFT ( ` v sin` {\u} `,` v cos `u `,` u RIGHT )]

위의 점 [eqn: p`=` LEFT ( 0,1,0 )`]에서의 평균 곡률을 각각 [eqn: H_1 `,`H_2 `,` H_3 `]이라 할 때, [eqn: H_1 `+`H_2 `+` H_3 `]을 구하시오. (3점)

위상•미기•이산•확통 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

2021학년도 목원대학교 수학교육과 3차(11월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 각 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. [2점]  다음 적분의 값을 구하시오.

[eqn: int _{{1} over {sqrt {2}}} ^{1} {` int _{sqrt {1-y ^{2}}} ^{y} {```} `dx`} dy][eqn: + int _{1} ^{sqrt {2}} { int _{0} ^{y} {``LFLOOR x+y RFLOOR } `dx`} dy][eqn: `+ int _{sqrt {2}} ^{2} { int _{0} ^{sqrt {4-y ^{2}}} {``LFLOOR x+y RFLOOR } `dx`} dy] (단, [eqn: lfloor x rfloor]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대 정수이다.)

2. [2점] 무한급수 [eqn: sum _{n=0} ^{INF } `{pmatrix{- 1over2#n}} `LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: n`]은 음이 아닌 정수이다.)

서술형 【1∼5】

1. [4점] 연속함수 [eqn: f`:`[`0`,``1]``->``[`0`,``1]`]은 [eqn: (`0,``1)`]에서 미분가능하다. 모든 [eqn: x`in(`0,``1)`]에 대하여 [eqn: f`'(`x)ne1`]이고, [eqn: f(a)=a``(`0 le a le 1)`]을 만족하는 [eqn: a`]가 존재한다고 할 때, 그러한 [eqn: a`]는 유일하게 존재함을 증명하시오.

2. [4점] 좌표평면에서 곡선 [eqn: y ^{5} =x ^{2} `]과 직선 [eqn: y=1]로 둘러싸인 부분을 [eqn: D`]라 하고 영역 [eqn: D`]의 경계(boundary)를 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선을 [eqn: C`]라 하자. 선적분 [eqn: int _{C} ^{} {``-3y`dx`+`4x`dy} `]의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오.

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. [4점] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f`]에 대하여 [eqn: S`=`[-1,``1]capf^{`-1}(lbrace0rbrace)]라 하자. 다음 명제 [eqn: P`]를 증명하시오.

[eqn: P] : [eqn: S`]가 무한집합이면 [eqn: f(`a)=f`` prime (`a)=0]을 만족하는 [eqn: a` IN ` VecR]가 존재한다.

4. [4점] 복소함수 [eqn: f(z)= 1over2 left(z+ 1overz right)`]에 대하여, 집합 [eqn: □z` IN ` VecC ```|```|`z`|=3□`]에서 [eqn: left|f(z)right|`]의 최댓값을 풀이과정과 함께 쓰시오.

5. [5점] 복소함수 [eqn: f(z)=z^6 -1`]에 대하여 [eqn: int _{C} ^{} {`` {f` prime (z)} over {f(z)}} `dz`]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. 여기서 [eqn: C``]는 복소평면에서 점 [eqn: {1} over {2}]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선이다.

해석영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과