2022학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(수학교육 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 23점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. 다음은 함수와 관련한 수학사 자료를 순서 없이 제시한 것이다. (가)∼(마)를 함수 개념이 발생한 순서로 배열하시오. [2점]

(가) 고대 바빌로니아나 그리스에서 천문학을 연구했던 사람들은 태양, 달, 행성 등의 변화를 찰하여 수표를 작성하다. 이 시기 사람들은 수표를 사용하여 천체 운동을 서술하고 주기 성을 발견하다. 삼각함수의 기원을 이 시기에서 찾을 수 있다.

(나) 비에트(F. Viète)가 문자를 사용하는 방식을 발시키고 데카 르트(R. Descartes)가 해석기하학을 창안한 것에 기하여 함수를 수으로 연구하게 되었다. □□□□라는 기호를 처음 으로 사용한 오일러(L. Euler)는 변수와 상수가 결합된 방식에 따라 함수를 분류했다. 이 시기에 이르러 독립변수와 종속변 수의 구분이 명확해졌다.

(다) 해석학을 엄하게 만들기 해 함수의 연속성과 미분가능성에 한 연구가 이루어졌다. 데데킨트(R. Dedekind), 칸토어(G. Cantor) 등이 실수의 구조를 엄하게 하여 해석학을 발시켰 다. 부르바키(Bourbaki) 학는 집합론에 기하여 ‘순서의 집합의 부분집합’이 어떤 특정한 조건을 만족할 때 그 부분집합 을 함수로 정의하다.

(라) 이 당시 학자들은 주로 운동을 나타내는 곡선을 심으로 곡 선의 선, 곡선 아래의 넓이, 곡선의 길이, 곡선을 따라 움직 이는 의 속도 등을 연구하다. 갈릴이(G. Galilei)는 등가 속도 운동을 하는 물체가 움직인 거리와 시간의 계를 연구 하는데, 과학에서 이루어진 운동에 한 연구가 함수를 개념화하는 데 기여하다.

(마) 푸리에(Fourier) 수나 디리클(Dirichlet) 함수에 한 연구 결과로 인하여 함수 개념을 새롭게 정의할 필요성이 생겨났다. 일가성과 임의성을 가지는 응으로 함수를 정의함으로써 한 변수의 각 값에 다른 변수의 유일한 값이 응되느냐 되지 않느냐는 논리 조건에만 심을 갖게 되었다.

2. 박교사는 다항식의 곱셈과 관련하여 다음의 학습 내용을 ①에서부터 순서대로 지도하려고 한다.

① [eqn: (a+b)(c+d)]의 전개

② [eqn: (a+b) ^{2}]의 전개

③ [eqn: 101 ^{2}]의 계산

이 때, 박 교사가 계획한 학습 내용의 지도 순서와 관련하여, 다음과 같은 박교사의 생각에 반영되어 있는 원리를 쓰시오.[2점]

저는 지식의 표현 방법도 중요하지만 그 지식의 지도 순서도 중요하다고 생각합니다. 그래서 저는 학생들에게 일반적인 개념이나 원리를 먼저 지도하고, 이 개념을 발판으로 하여 이어지는 학습 내용을 점점 특수화하고 세분화하는 형태로 지도 할 때 학생들에게 의미 충실한 학습이 될 수 있다고 생각합니다.

수학교육 (3면 중 1 면)                     목원대학교 수학교육과

서술형 【3∼7】

3. 다음에 제시된 수업 상황을 읽고 물음에 답하시오

다은이는 다음 문제를 해결하려고 애쓰고 있다.

“학교에서 집까지의 거리는 200m이고, 집에서 경찰서까지의 거리는 250m이다. 집에서 학교와 경찰서를 바라본 각의 크기가 60°일 때, 학교에서 경찰서까지의 거리를 구하여라.”

잠시 후 교사가 다가와 다음과 같이 말하였다.

“다은아, 제2코사인 법칙을 적용하면 되지 않을까?”

다은이는 교사의 이러한 발문에 힘입어 문제를 쉽게 해결했다.

폴리아(G. Polya)의 수학 문제해결 교육론의 관점에서 볼 때, 교사가 다은이에게 한 발문이 바람직한 것인지 아닌지를 판단하고, 판단의 구체적인 이유를 교사의 발문과 관련하여 두 가지 서술하시오. [3점]

4. 다음은 중학교 2학년 삼각형의 외심에 대해 다음과 같은 활동을 한 후 형식적인 정당화를 하였다. 다음 학생과 교사가 대화하는 것을 보고 다음에 답하시오.

수학교육 (3면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

교사: 자~ 오늘 수업을 한 다음 자신의 어려운 점이나 재미있었던 점을 같이 이야기 해 볼까?

은혜: 저는 수업시간에 탐구활동에서 종이접기로 삼각형의 외심에 대한 성질을 확인하는 과정은 재미도 있고 이해도 잘되었어요. 그리고 그 성질이 성립하는 이유를 선생님이 설명하시는 것을 보면 저도 할 수 있을 것 같았어요. 그런데 혼자서 그 성질이 성립하는 이유를 풀어보려면 어떻게 해야할지 모르겠어요.

교사: 음 그렇구나. 그럼 윤정이는 어땠니?

윤정: 저는 종이접기로 확인하면 되지 왜 다시 그 성질이 성립하는지 이유를 설명하는 문제를 풀어야 하는지 모르겠어요. 사실 평행사변형의 경우도 초등학교에서 배워서 아는데 중학교에 와서 그 성질이 성립하는 이유를 설명하더라구요.

두 학생의 엄밀한 연역적 정당화 과정에 대한 생각과 그 원인을 분석하고, 그 결과를 근거로 하여 엄밀한 연역적 정당화 학습의 개선 방안을 1가지 제시하시오.[4점]

5. 다음은 투키(J. Tukey)가 제안한 탐색 자료 분석의 을 용한 학교 3학년 통계 역 수업의 일부이다. 김 교사: 지난 시간에 우리가 사는 지역의 환경 보을 하여 탄소 배출량 이기 로젝트를 수행하기로 결정하 습니다. 로젝트의 자료를 수집하기 하여 체 학생 □□□명 □□□명을 상으로 설문 조사를 실시하고 수집한 자료를 다음 표와 같이 정리하습니다. 이 표를 이용하여 우리 지역 탄소 배출량 자료의 특징을 알아 시다. 학생 A: 이 표만으로는 자료의 특징을 찾기 어렵습니다. 김 교사: 어떻게 하면 자료의 특징을 알 수 있을지 함께 생각해 시다. 학생 B: 저는 평균으로 자료의 특징을 찾아보려고 합니다. 김 교사: 평균과 같은 대푯값을 구해 보는 것도 좋은 생각입니다. 이와 같이 수치로 나타내는 방법 이외에도 자료의 특징을 쉽게 파악할 수 있는 다른 방법은 ( ㉠ ). 학생 B: 평균으로 자료의 특징을 찾아보려고 표를 살펴보니 빈칸이 하나 있고 □□99번의 탄소 배출량은 소수점이 잘못 표시되어 있는 것 같습니다. 이런 경우에도 평균을 이용해도 될지 궁합니다. 김 교사 : 좋은 질문입니다. 이와 같이 평균을 이용하기 어려운 상황에서는 ( ㉡ ). …(하략)… 탐색 자료 분석의 관점에서 괄호 안의 ㉠과 ㉡에 김 교사가 제시할 수 있는 지도 내용을 각각 쓰시오. 그리고 탐색 자료 분석의 관점에서 ㉠과 ㉡의 지도 내용이 적절한 이유를 서술하시오. [4점] 6. 확률적인 판단을 내릴 때 대부분의 사람들은 자신의 판단 전략을 사용한다. 확률을 배우지 않은 대학생들에게 "어떤 사람이 심장병을 앓고 있을 확률과 어떤 사람이 55세 이상이고 심장병을 앓고 있을 확률, 어느 값이 더 클 것인가?"라고 물었다. 이에 대하여 절반 이상의 학생들은 후자의 확률이 더 클 것이라고 답하였다. 위와 같은 오개념에 대해 설명하고, 이러한 오개념을 극복하기 위하여 어떻게 지도할 것인지 약술하시오.[4점]	7. 박 교사는 고등학교 ‘수학1’ 삼각함수 단원에서 <수업 방향>에 따라 <온라인 활동 과제>를 활용한 실시간 온라인 수업을 하려고 한다. 이에 대하여 <작성 방법>에 따라 서술하시오. ◦ 학생이 수업에 하여 가능한 한 많은 권리와 책무성을 갖도록 한다. ◦ 학생과 학생 사이에 충실한 상호작용이 일어나도록 한다. ◦ 학생이 다양한 표상을 사용하는 능력을 함양하도록 한다. <수업 방향> <온라인 활동 과제> (가) 컴퓨터 기하 프로그램으로 삼각함수 그래를 그리는 방법을 복습하시오. (나) 함수 [eqn: y=a`sinx]의 그래프를 [eqn: a]의 값을 다르게 하여 여러 개 그려보고, 함수 [eqn: y=`sin(bx)]의 그래프는 [eqn: b]의 값을 다르게 하여 여러 개 그려본 후 나타난 결과를 분석하여 정리하시오. (다) 함수 [eqn: y=`asin(bx)]([eqn: a,`b]는 상수)의 그래프의 성질에 대하여 정리한 내용을 발표하시오. 박 교사의 <수업 방향>에 적합한 교수․학습 방법을 2015 개정 수학과 교육과정에서 ‘교수․학습 평가의 방향’의 ‘교수․학습 방법’에 제시된 것에서 선택하여 쓰시오. 선택한 ‘교수․학습 방법’을 적용할 때, <온라인 활동 과제>의 (다)에서 학생이 할 발표의 준비 과정과 내용을 약술하시오.[4점] 수학교육 (3면 중 3 면) 목원대학교 수학교육과

2022학년도 목원대학교 수학교육과 1차(3월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼4】

1. 실수체 ℝ상의 벡터공간 [eqn: ℝ^2`]위에서 선형사상 [eqn: T:ℝ ^{2} `` rarrow `ℝ ^{3}]이 [eqn: T(x,y)=(x-y,`x-2y,x+y)]로 주어질 때, [eqn: ℝ^2`]의 순서기저 [eqn: alpha = LEFT { (-1,0),```(1,-1) RIGHT }]와 [eqn: {VecR ^{3}}]의 표준기저 [eqn: beta]에 관한 행렬 [eqn: [T``] _{alpha}^{beta}]를 구하시오. [2점]

2. [eqn: x ^{2} +22 == 0(mod``23)]의 해가 존재하는지 판별하시오 [2점]

3. 군준동형사상  [eqn: phi : VecZ _{~} rarrow ` VecZ _{8}]의 개수를 구하시오. [2점]

4. 잉여군 [eqn: ( VecZ _{8} TIMES VecZ _{12} )/<(3,3)>]의 원소 [eqn: (5,2)+<(3,3)>]의 위수를 구하시오. [2점]

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. 3차 행렬 [eqn: A= {pmatrix{2&0&1#0&4&0#0&0&1}}]을 대각화하시오. [4점]

2. 방정식 [eqn: x ^{5} +x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+1 == 0`(mod``17)]의 해를 구하시오.(단, [eqn: 3]은 [eqn: 17]의 원시근이다.) [4점]

3. 환준동형사상  [eqn: phi : VecZ _{~} rarrow ` VecZ _{8}]을 모두 구하시오. [4점]

4. 체 [eqn: VecQ] 위의 다항식 [eqn: f(x)=x ^{4} +x ^{2} -2 IN VecQ [x]]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [5점]

(1) [eqn: f(x)]의 분해체 [eqn: K``]를 구하시오.  [2점]

(2) 갈로아군 [eqn: G(K/ VecQ)]와 동형인 군을 구하시오. [3점]

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

2022학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 27점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

서술형 【1∼4】

1. 음이 아닌 정수 [eqn: n`]에 대하여 등식

[eqn: (-1) ^{`n} `` {pmatrix{- {1} over {2}#n}} ``2 ^{`2n} ``=`` {pmatrix{`2n`#n}}]

이 성립함을 보이시오. [4점]

2. 위상과 관련된 다음 각 명제의 반례를 제시하시오. [4점]

2-1. 제 2 가산성은 유전적 성질이다.

2-2. 긴밀집합은 닫힌집합이다.

2-3. 수렴하는 점열의 극한은 항상 유일하다.

2-4. 점렬연속함수는 연속함수이다.

3. 두 확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]의 결합확률질량함수(joint probability mass function)가 다음과 같다.

[eqn: Y] [eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: 0]	[eqn: p]	[eqn: {1} over {24}]	[eqn: {1} over {12}]	[eqn: {1} over {8}]
[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: {1} over {12}]	[eqn: {1} over {8}]	[eqn: {1} over {24}]
[eqn: 2]	[eqn: {1} over {12}]	[eqn: {1} over {8}]	[eqn: {1} over {12}]	[eqn: q]

[eqn: X]의 기댓값이 [eqn: E(X`)= 13over12]일 때, [eqn: p times 1overq]의 값과 조건부확률 [eqn: P`(X+Y le4``|Y-X=2)]의 값을 순서대로 쓰시오. [3점]

4. 확률변수 [eqn: X]의 적률생성함수(moment generating function) [eqn: M _{X} `(t)]가

[eqn: M _{X}` (t)= {1} over {(1-2t) ^{4}}]  [eqn: LEFT (` t< {1} over {2} RIGHT )]

이다. 확률변수 [eqn: X]의 분산을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

또한, [eqn: X _{1} `,``X _{2} `,` CDOTS `,``X _{200}]이 적률생성함수가 [eqn: M _{X}` (t)]인 분포로부터 뽑힌 확률표본일 때, 이들의 평균 [eqn: {bar{X```}} `=` {1} over {200} sum _{i=1} ^{200} X _{i}]에 대하여 [eqn: bar{X```}]가 [eqn: 9]이상이 될 확률은 중심극한정리(central limit theorem)를 적용하면 근사적으로 [eqn: P(Z gec)]이다. 상수 [eqn: c]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: Z`]는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.) [4점]

위상•미기•이산•확통 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형【6∼7】

5. 두 점 [eqn: {bold{p}} =(0,0,0)`,~ {bold{q}} =(1,1,1)]를 연결하는 곡면  [eqn: M `: z = xy `]위의 곡선 [eqn: bold { alpha } (t) = ( t , t^2 , t^3 ) ,~ 0<= t <= 1]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [4점]

5-1. [eqn: bold { alpha} `]는 [eqn: M `]의 측지선이 아님을 보이시오.

5-2, 점 [eqn: bold{p} `]에서 [eqn: bold { alpha} `]의 곡률을 구하시오.

6. [eqn: X= left[0, 1over { 2 pi} right]]에서 보통위상공간 [eqn: (ℝ, ` IMAG_u )]로의 함수

[eqn: f `:` X`->` (ℝ,` IMAG_u )],      [eqn: f(x) `: = cases { cos 1 over x ~~&, x not= 0 # ``````0 &, x = 0 }]

에 대하여 [eqn: IMAG]을 함수 [eqn: f ``]가 연속이 되는 [eqn: X]의 위상 중 가장 약한 위상이라 하자. 위상공간 [eqn: (X, IMAG )]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [5점]

(1) [eqn: (X, IMAG )]는 [eqn: T_1]공간이 아님을 설명하시오.

(2) 집합 [eqn: left[1 over {4 pi} , 1 over {2 pi} right] subset(X, IMAG )]의 폐포를 구하시오.

7. 곡면 [eqn: M `: z = xy `]에 대한 다음 물음에 답하시오. [3점]

7-1. [eqn: M`]은 직선곡면임을 보이시오.

7-2. [eqn: M`]의 가우스곡률을 구하시오.

7-3. [eqn: M`]의 평균곡률을 구하시오.

위상•미기•이산•확통 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

2022학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. 실수 [eqn: t`]에 대하여

[eqn: g(t)= 1overpi dint _{D} ^{} {(x^2 +y^2 +1)^t `} dxdy]

라 할 때, [eqn: g(-1)`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: D`= LEFT { `(x,`y)` IN `` VecR ^{2} `` LEFT : ``x ^{2} +y^2 le1` RIGHT } RIGHT .]이다.) [2점]

2. [eqn: |`x`|<1`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: {1} over {(1-x) ^{3}} `= sum _{n=0} ^{INF } a _{n} `x ^{n}]

일 때, [eqn: sum_{n=2}^inf{`1over {a _{n}}} `]의 값을 구하시오. [2점]

서술형 【1∼5】

1. 복소평면에서 중심이 [eqn: i`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 [eqn: C``]에 대하여 선적분

[eqn: int _{``C} ^{} {`` {4e ^{-iz}} over {(z+8i)(z-2i)} `} `dz`]

의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

2. [eqn: 3]차원 유클리드 공간 [eqn: VecR^3]에서 구

[eqn: M= lbrace (x,``y,``z) IN `VecR ^{3} ``|``x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1 rbrace]

위에 단위속력곡선(arc-length parametrized curve)

[eqn: gamma`:`[`0,`1]`->`M`]이 있다. 각 [eqn: s in[`0,`1]]에 대하여 점 [eqn: gamma(s)`]에서의 [eqn: gamma`]의 종법선벡터(binormal vector)를 [eqn: B(s)], 점 [eqn: gamma(s)`]에서의 [eqn: M]의 법선벡터(normal vector)를 [eqn: n(s)]라 하자.

모든 [eqn: s in[`0,`1]]에 대하여 [eqn: B(s)cdot n(s)`=`1over2`]을 만족할 때, [eqn: gamma(s)`]의 비틀림률(열률, 꼬임률, torsion) [eqn: a(s)]를 구하시오. [4점]

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. 복소수 [eqn: z=x+iy```(x,`y는```실수)]에 대한 함수 [eqn: f(z)=e ^{-3y} cos`(ax)+bx ^{2} -4y ^{2} +i`v(x,``y)] 가 정함수(entire function)가 될 때, [eqn: f``' (z)`=`8z`+`3`i`e ^{`3`iz}] 임을 보이시오. (단, [eqn: v(x,``y)~]는 실숫값 함수이다. [eqn: a>0,``b>0]) [4점] 4. 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f_{n}:VecR `->` VecR]를 [eqn: f _{n} (x)= {6(sinx) ^{2n-1} cosx} over {1+(sinx) ^{2n}}] 로 정의하자. [eqn: int _{0} ^{{pi } over {3}} {f _{n} (x)} dx]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]	5. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f`]에 대하여 [eqn: S=□x`|`f(x)=0`,``-1 LEQ x LEQ 1□] 라 하자. [eqn: S`]가 무한집합일 때, [eqn: f(a) = 0]과 [eqn: f``' (a) = 0]을 모두 만족하는 실수 [eqn: a`]가 존재함을 증명하시오. [5점] 해석영역 (2면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과