2022학년도 목원대학교 수학교육과 3차(10월) 졸업시험
수 학(수학교육 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1.  다음은 함수와 관련한 수학사 자료를 순서 없이 제시한 것이다. (가)∼(마)를 함수 개념이 발생한 순서로 배열하시오. [2점]

(가) 고대 바빌로니아나 그리스에서 천문학을 연구했던 사람들은 태양, 달, 행성 등의 변화를 관찰하여 수표를 작성하다. 이 시기 사람들은 수표를 사용하여 천체 운동을 서술하고 주기성을 발견하였다. 삼각함수의 기원을 이 시기에서 찾을 수 있다.

(나) 비에트(F. Viète)가 문자를 사용하는 방식을 발전시키고 데카르트(R. Descartes)가 해석기하학을 창안한 것에 기하여 함수를 대수적으로 연구하게 되었다. [eqn: f(x)]라는 기호를 처음으로 사용한 오일러(L. Euler)는 변수와 상수가 결합된 방식에 따라 함수를 분류했다. 이 시기에 이르러 독립변수와 종속변수의 구분이 명확해졌다.

(다) 해석학을 엄밀하게 만들기 위해 함수의 연속성과 미분가능성에 대한 연구가 이루어졌다. 데데킨트(R. Dedekind), 칸토어(G. Cantor) 등이 실수의 구조를 엄밀하게 하여 해석학을 발전시켰다. 부르바키(Bourbaki) 학파는 집합론에 기초하여 ‘순서쌍의 집합의 부분집합’이 어떤 특정한 조건을 만족할 때 그 부분집합을 함수로 정의하였다.

(라) 이 당시 학자들은 주로 운동을 나타내는 곡선을 중심으로 곡선의 접선, 곡선 아래의 넓이, 곡선의 길이, 곡선을 따라 움직이는 점의 속도 등을 연구하였다. 갈릴레이(G. Galilei)는 등가속도 운동을 하는 물체가 움직인 거리와 시간의 관계를 연구하는데, 과학에서 이루어진 운동에 대한 연구가 함수를 개념화하는 데 기여하였다.

(마) 푸리에(Fourier) 급수나 디리클레(Dirichlet) 함수에 대한 연구결과로 인하여 함수 개념을 새롭게 정의할 필요성이 생겨났다. 일가성과 임의성을 가지는 대응으로 함수를 정의함으로써 한 변수의 각 값에 다른 변수의 유일한 값이 대응되느냐 되지 않느냐는 논리 조건에만 심을 갖게 되었다.

2. 다음 아래의 내용은 수학 학습 심리에 관한 여러 학자들의 이론에 대한 설명이다. 그 설명으로 올바른 것을 모두 고르시오.[2점]

ㄱ. 피아제(Piaget)에 따르면, 수학교육에서 활동적 학습, 구체적 조작을 강조하되, 학생들에게 인지적 갈등을 유발할 수 있는 학습 상황을 제공하는 것은 바람직하지 않다.

ㄴ. 브루너(Bruner)의 EIS 이론에서, 아동의 지능의 발달은 활동적(enactive) 표현, 영상적(iconic) 표현, 상징적(symbolic) 표현의 순서로 이루어지고, 그들 사이의 조정능력의 발달을 의미한다

ㄷ. 스켐프(Skemp)가 설명하는 관계적 이해(relational

understanding)에 의한 수학 학습 방법은 새로운 과제에 대한 적응력이 높아지는 장점이 있는 반면, 시간이 많이 소요되고, 기억의 지속력은 더 약하다는 단점이 있다.

ㄹ. 딘즈(Dienes)가 제시하는 수학 개념의 학습 과정은 자유놀이 단계, 게임 단계, 공통성 탐구 단계, 표현 단계의 4단계로 이루어진다.

ㅁ. 오수벨(Ausubel)은 발견학습과 반대되는 것은 ‘기계적 학습’이 아니라 ‘의미있는 언어적 학습(설명학습)’으로, 발견과정을 거치지 않는 설명식 지도로 의미있는 학습이 일어날 수 있음을 강조하였다.

수학교육 (4면 중 1 면)                     목원대학교 수학교육과

서술형 【3∼7】

3. 다음은 박 교사가 학생들의 수학적 추론 능력을 알아보기 위해 제시한 문제이다.

<영희의 풀이>

보이는 다섯 개의 수가 1, 4, 6, 7, 9 일 경우, 그리고 1, 3, 6, 7, 10일 경우를 살펴보면, 그 합이 모두 27임을 알 수 있다. 다른 경우도 마찬가지 일 것이므로 답은 27이다.

철수가 제시한 풀이에 나타난 수학적 추론의 유형을 쓰고, 이러한 유형의 추론이 철수의 문제해결 과정에서 어떤 역할을 하였는지 설명하시오. 그리고 철수의 풀이에서 보완되어야 할 점을 기술하시오[3점]

4. 다다음은 중학교 ‘기하’ 영역에 대한 수업 상황이다.

<수업상황>

최 교사: 삼각형 모양의 종이가 준비되었지요? 한 꼭짓점에서 두 변이 겹치도록 접었다가 펼쳐보세요. 다른 꼭짓점에서도 똑같이 해 보세요. 접은 두 선이 만나는 점이 있지요?

학   생: 네.

최 교사: 그 점으로부터 삼각형의 세 변에 이르는 거리를 재어 보세요.

(학생들의 측정 활동이 이어진다.)

최 교사: 어떤 사실을 추측할 수 있어요?

학  생: 삼각형의 두 내각의 이등분선의 교점으로부터 세 변에 이르는 거리가 같은 것 같습니다.

최 교사: 그러면, 명제 ㉤‘삼각형 [eqn: ABC]의 두 각 [eqn: A]와 [eqn: B]의 이등분선의 교점으로부터 세 변에 이르는 거리가 같다.’를 증명할 수 있을까요?

학   생: 네. 지난 시간에 한 것처럼 하면 될 것 같아요.

최 교사: 우리가 지난 시간에 어떻게 했지요?

학   생: 삼각형 [eqn: ABC]의 두 변 [eqn: AB]와 [eqn: BC]의 수직이등분선의 교점으로부터 각 꼭짓점에 이르는 거리가 같다고 가정하고서 ……(중략)…… 그러고 나서 정리하니까 증명이 되었어요.

최 교사: 그래요. 이번에도 비슷하게 한번 해 볼까요?

학   생: 네.

최 교사: 그럼, 삼각형 [eqn: ABC]의 두 각 [eqn: A]와 [eqn: B]의 이등분선의 교점으로부터 삼각형의 각 변에 이르는 거리가 같다고 가정하고 시작해 봅시다.

<수업상황>에서 명제 ㉤의 증명에 분석법과 종합법을 적용하는 과정을 수업상황과 관련지어 구체적으로 제시하고, 명제를 증명할 때 분석법과 종합법을 함께 이용하는 활동의 수학교육적 의의를 설명하시오.[4점]

5. 박 교사는 고등학교 ‘수학1’ 삼각함수 단원에서 <수업 방향>에 따라 <온라인 활동 과제>를 활용한 실시간 온라인 수업을 하려고 한다.

◦학생이 수업에 하여 가능한 한 많은 권리와 책무성을 갖도록 한다.

◦학생과 학생 사이에 충실한 상호작용이 일어나도록 한다.

◦학생이 다양한 표상을 사용하는 능력을 함양하도록 한다.

<수업 방향>

<온라인 활동 과제>

(가) 컴퓨터 기하 로그램으로 삼각함수 그래를 그리는 방법을 복습하시오.

(나) 함수 [eqn: y=a`sinx]의 그래프를 [eqn: a]의 값을 다르게 하여 여러 개 그려보고, 함수 [eqn: y=`sin(bx)]의 그래프는 [eqn: b]의 값을 다르게 하여 여러 개 그려본 후 나타난 결과를 분석하여 정리하시오.

(다) 함수 [eqn: y=a`sin(bx)]([eqn: a,`b]는 상수)의 그래프의 성질에 대하여 정리한 내용을 발표하시오.

박 교사의 <수업 방향>에 적합한 교수․학습 방법을 2015 개정 수학과 교육과정에서 ‘교수․학습 평가의 방향’의 ‘교수․학습 방법’에 제시된 것에서 선택하여 쓰시오.

선택한 ‘교수․학습 방법’을 적용할 때, <온라인 활동 과제>의 (다)에서 학생이 할 발표의 준비 과정과 내용을 약술하시오.[4점]

6.다음은 수학사의 활용에 대해 논의하고 있는 교사들의 대화이다.

박 교사 : 수학사를 수업에서 활용하는 방법에는 어떤 것이 있을까요? 각자의 경험을 함께 얘기해 봅시다.

최 교사 : 저는 수학자들의 이야기를 해 주면서 학생들의 흥미를 유발한 적이 있습니다. “우리는 언제부터 문자를 사용해서 방정식을 나타내고 풀게 되었을까?”라고 질문하면서, 아주 옛날에는 문제의 풀이를 일상 언어만으로 기술했지만 약 3세기 디오판토스(Diophantus) 이후 미지수를 문자로 표현하였고, 16세기 프랑스의 수학자 비에트(F. Viète) 이후 ㉠ 방정식에서 문자의 사용 범위가 확대되었다는 이야기를 해 주었습니다.

김 교사 : 저는 학생들에게 피타고라스 정리가 성립함을 설명하는 방법이 많다고 얘기해 주면서, 인도의 수학자 바스카라(A. Bhaskara)가 제시한 그림에서 피타고라스 정리가 왜 성립하는지 알아보는 활동을 하게 한 적이 있어요. 수학사를 소재로 학생들이 피타고라스 정리를 탐구할 수 있었죠.

박 교사 : 수학사를 수업에 활용하는 또 다른 방법이 있을까요?

최 교사 : 교육과정 내용을 재구성할 때도 수학사를 참고할 수 있어요. ㉡수학을 발생된 것으로 파악하고 학습자가 학습 과정에서 수학의 발생을 경험하게 하는 원리에 따라서요. 퇴플리츠(O. Toeplitz)의 □미분적분학□에서 이 원리를 반영하고 있죠.

김 교사 : ㉢퇴플리츠와 방식은 다르지만 프로이덴탈(H. Freudenthal)도 수학사를 교육적으로 활용해야 한다고 했어요.

박 교사 : 선생님들과 이야기하다 보니 수학사를 수업에 활용하는 방법을 더 연구해야겠다는 생각이 드네요

방정식의 일반해를 나타낼 수 있게 되었다는 점에서 밑줄 친 ㉠의 확대된 문자의 사용 범위를 구체적으로 쓰시오. 또한, 밑줄 친 ㉡이 뜻하는 용어가 무엇인지 쓰고, 밑줄 친 ㉢에서 ‘수학사를 교육적으로 활용’한다는 것의 의미를 설명하시오. [4점]

수학교육 (4면 중 3 면)                     목원대학교 수학교육과

7. 다음은 중학교 2학년 학생들에게 피타고라스 정리를 지도하는 수업의 일부이다.

다음 그림은 모눈 한 칸의 크기가 1일 때, 세 개의 직각삼각형 ABC에 대하여 세 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: P,`Q,`R]를 그린 것이다. 물음에 답하여 보자.

(1) 위의 그림에서 각 정사각형의 넓이를 구하여 다음 표의 빈 칸에 써넣어 보자.

	[eqn: P]의 넓이	[eqn: Q]의 넓이	[eqn: R]의 넓이
[그림1]
[그림2]
[그림3]

(2) (1)에서 구한 [eqn: P]와 [eqn: Q]의 넓이의 합과 [eqn: R]의 넓이를 비교하여 보자.

(3) 세 정사각형의 넓이 사이의 관계를 이용하여 직각삼각형 ABC의 세 변의 길이 사이의 관계를 추측하여 보자.

(4) (3)에서 추측한 직각삼각형 ABC의 세 변의 길이 사이의 관계가 성립하는 이유를 논리적으로 설명해보자.

이 수업에서 피타고라스 정리의 의미를 이해하여 활용하는 데 중점을 두고 위의 활동으로 시작하였다. 반 힐레의 기하 학습 수준에 따라 (1)～(4)번 문제를 해결한 학생들의 특징과 그 근거를 각각 쓰시오.[3점]

8.다음은 고등학교 2학년 학생들에게 ‘수열의 수렴과 발산’을 지도한 후 아래와 같은 주제로 수업을 하였다.

<탐구해봅시다: 진동하는 수열에 대한 오해>

교 사: 진동하는 수열에 대한 여러분의 생각을 발표해보세요.

학생1: 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀔 거예요.

학생2: 진동하는 수열의 각 항의 값은 항상 교대로 반복할 거예요.

학생3: 양수와 음수가 교대로 반복되어 나타나면 항상 진동하는 수열이에요.

학생1: [eqn: (-1) ^{n}]과 같은 수열은 –1, 1, -1, 1, -1, ··· 이므로 진동하고 있어.

그러니까 진동하는 수열의 각 항의 값도 –1, 1, -1, 1처럼 항상 교대로 반복되는 것도 옳을까?

학생2: 그럼 내 생각대로 진동하는 수열의 각 항의 값도 –1, 1, -1, 1처럼 항상 교대로 반복되는 것도 옳을까?

<중략>

교 사: 너희들이 의사소통을 통해 잘 발견해 주었어요, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 n이 한없이 커짐에 따라 일반항 [eqn: a _{n}]의 값이 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 수열을 진동한다고 합니다. 일반적으로 진동하는 경우를 포함하여 수렴하지 않는 수열을 모두 발산한다고 합니다. 너희들이 발견한 내용을 정리하면 진동하는 수열이라고 해서 항상 각 항의 부호가 바뀌는 것은 아니고, 항상 일정한 값이 반복되어 나타나는 것도 아니에요. 또 양수와 음수가 반복되어 나타난다고 해서 항상 진동하는 수열이라고 할 수 없어요.

위의 내용 중 <중략> 부분에 해당되는 내용을 사회적 구성주의의 지식이 구성 과정에 기초하여 쓰시오.[3점]

수학교육 (4면 중 4 면)                     목원대학교 수학교육과

2022학년도 목원대학교 수학교육과 3차(10월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼4】

1. 선형사상 [eqn: T:ℝ ^{3} `` rarrow `ℝ ^{3}]이

[eqn: T(x,y,z)=(x-y+z,`x-2y,x+y-z)]

로 주어질 때, [eqn: ℝ ^{3} `]의 순서기저

[eqn: alpha = LEFT { (-1,0,1),```(1,-1,0),``(0,1,-1) RIGHT }]

와 [eqn: {VecR ^{3}}]의 표준기저 [eqn: beta]에 관한 행렬 [eqn: [T`` ^{-1} ] _{alpha }^{beta }]를 구하시오.

[2점]

2. [eqn: x ^{3} +1 == 0(mod``17)]의 해를 모두 구하시오. [2점]

3. 군준동형사상  [eqn: phi : VecZ _{~} rarrow ` VecZ]의 개수를 구하시오. [2점]

4. 잉여군 [eqn: ( VecZ _{6} TIMES VecZ _{4} )/<(5,5)>]와 동형인 군을 구하시오. [2점]

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1.3차 행렬 [eqn: A= {bmatrix{2&0&0#1&5&0#3&3&3}}]을 대각화하시오. [4점]

2. 방정식 [eqn: x ^{2} +x+2 == 0`(mod``29)]의 해를 구하시오.[4점]

3.군준동형사상  [eqn: phi : VecZ _{~} rarrow `VecQ]을 모두 구하시오. [4점]

4. 체 [eqn: VecQ] 위의 다항식 [eqn: f(x)=x ^{3} -2 IN VecQ [x]]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [5점]

(1) [eqn: f(x)]의 분해체 [eqn: K``]를 구하시오.  [2점]

(2) 갈로아군 [eqn: G(K/ VecQ)]와 동형인 군을 구하시오. [3점]

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

2022학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1】

1. 다음 조건을 만족하는 그래프를 각각 하나씩 그려라.

(1) 꼭짓점의 집합이 [eqn: V=lbracex_1 ,``x_2 ,``x_3 ,``x_4 rbrace]이고 변(edge)의 집합이 [eqn: E=□e _{1} ,``e _{2} ,``e _{3} ,``e _{4} □]인 단순그래프(simple graph)로서, [eqn: 4]차 정사각행렬 [eqn: B=(b_ij )`]를

[eqn: b _{ij} = {cases{`1``&(x _{i} 와~e _{j} 가~근접한~경우)#`0&(그~외의~경우)}} it] [eqn: (i,`j=1,`2,`3,`4)]로 정의할 때, [eqn: B= {pmatrix{``1``&``0``&``0``&``0``#`1&1&1&`0`#`0&1&0&`1`#`0&0&1&`1`}}]인 것 [기입형, 2점]

(2) 꼭짓점의 개수가 6인 단순그래프로서 꼭짓점의 차수가 [eqn: 4,``4,``3,``3,``2,``0`]인 것 [기입형, 1점]

(3) 꼭짓점의 개수가 6인 단순그래프로서 꼭짓점의 차수가 [eqn: 2,``2,``2,``2,``2,``2`]인 것 [기입형, 1점]

서술형 【2∼7】

2. 위상과 관련된 다음 각 개념의 정의를 서술하시오. [6점]

2-1. 위상(Topology)

2-2. 점열의 수렴성

2-3. 연속함수

2-4. 긴밀(Compact)집합

2-5. 연결집합

2-6. 한 점(One point) 긴밀화

3. A 회사와 B 회사에서 생산하는 배터리의 수명은 각각 정규분포 [eqn: rm N(3500,``88 ^{2} )], [eqn: rm N(3300,``72 ^{2} )]을 따른다고 한다. A 회사의 제품에서 [eqn: 121]개를 임의로 추출한 표본의 평균수명을 [eqn: bar{X``}], B 회사의 제품에서 [eqn: 144]개를 임의로 추출한 표본의 평균수명을 [eqn: bar{Y``}]라 할 때, [eqn: bar{X``}-bar{Y``}]의 분산 [eqn: {\Var}left(`bar{X``}-bar{Y``}right)]는 [eqn: a`]이고, [eqn: {\P}left(`bar{X``}-bar{Y``}`le320 right)`={\P}(Z le b)`]이다. 상수 [eqn: a`]와 [eqn: b`]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 배터리 수명의 단위는 [eqn: 100``\km]이고, [eqn: Z`]는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.) [서술형, 3점]

4. [eqn: X _{1} ,``X _{2}]를 균등분포(uniform distribution) [eqn: Unif(`0,`1)]로부터의 확률표본(random sample)이라 하고, [eqn: Y`]를 [eqn: X _{1} ,``X _{2}]의 중앙값(median)이라 하자. 이때 [eqn: Y`]의 누적분포함수(cumulative distribution function) [eqn: F_Y (y)=P(Y le y)]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점]

위상•미기•이산•확통 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

5. 곡면 [eqn: M `: x^2 + y^2 = 1 `]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [4점] 5-1. [eqn: M`]의 좌표 조각을 제시하고, 이를 이용하여 [eqn: M]이 직선 곡면임을 설명하시오. 5-2, 두 점 [eqn: bold{p} = (1,0,0) `,~ bold{q } = (0,1,1)]를 연결하는 측지선(grodesic)의 매개변수표현을 구하시오. 6. [eqn: X= left[0, 1over { 2 pi} right]]에서 보통 위상공간 [eqn: (ℝ, ` IMAG_u )]로의 함수 [eqn: f `:` X`->` (ℝ,` IMAG_u )], [eqn: f(x) `: = cases { cos 1 over x ~~&, x not= 0 # ``````0 &, x = 0 }] 에 대하여 [eqn: IMAG]을 함수 [eqn: f ``]가 연속이 되는 [eqn: X]의 위상 중 가장 약한 위상이라 하자. 위상공간 [eqn: (X, IMAG )]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [3점] (1) 점열 [eqn: <p_n > `,~p_n = 1 - 1 over n]의 극한을 모두 구하시오. (2) [eqn: (X, IMAG )]가 긴밀 집합임을 보이시오.	7. 곡면 [eqn: M `: x^2 + y^2 + z^2 = 1 `]에 대한 다음 물음에 답하시오. [4점+2] 7-1. [eqn: M`]의 좌표조각을 제시하시오. (1점) 7-2. [eqn: M`]의 좌표조각을 이용하여 [eqn: M`]의 곡선의 매개변수식을 제시하시오. (1점) 7-3. [eqn: M`]의 측지선(geodesic)은 대원(great circle)임을 보이시오. (2점) 7-4. [eqn: M`]의 형작용소(Shape Operator)을 구하시오. (2점) 위상•미기•이산•확통 (2면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과

2022학년도 목원대학교 수학교육과 3차(10월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. 실수 [eqn: t`]에 대하여

[eqn: g(t)= {1} over {pi } dint _{D} ^{} {(x ^{2} +y ^{2} +2) ^{`t} `} dxdy]

라 할 때, [eqn: g(-1)`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: D`= LEFT { `(x,`y)` IN `` VecR ^{2} `` LEFT : ``x ^{2} +y ^{2} LEQ 3` RIGHT } RIGHT .]이다.) [2점]

2.[eqn: |`x`|<1`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: (1-x) ^{`-3} `=`a _{0} +a _{1} `x+a _{2} `x ^{2} +` CDOTS]

일 때, [eqn: sum _{n=2} ^{INF } ` a _{n}^{`-1} `]의 값을 구하시오. [2점]

서술형 【1∼5】

1. 복소평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 [eqn: C``]에 대하여 선적분

[eqn: int _{``C} ^{} {`` {1} over {ez-pi} `} `dz`]

의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

2. [eqn: 3]차원 유클리드 공간 [eqn: VecR^3]에서 구

[eqn: M= lbrace (x,``y,``z) IN `VecR ^{3} ``|``x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1 rbrace]

위에 단위속력곡선(arc-length parametrized curve)

[eqn: gamma`:`[`0,`1]`->`M`]이 있다. 각 [eqn: s in[`0,`1]]에 대하여 점 [eqn: gamma(s)`]에서의 [eqn: gamma`]의 종법선벡터(binormal vector)를 [eqn: B(s)], 점 [eqn: gamma(s)`]에서의 [eqn: M]의 법선벡터(normal vector)를 [eqn: n(s)]라 하자.

모든 [eqn: s in[`0,`1]]에 대하여 [eqn: B(s)cdot n(s)`=`1over2`]을 만족할 때, [eqn: gamma(s)`]의 비틀림률(열률, 꼬임률, torsion) [eqn: a(s)]를 구하시오. [5점]

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. 복소수 [eqn: z=x+iy```(x,`y는```실수)]에 대한 함수 [eqn: f(z)=e ^{-3y} cos`(ax)+bx ^{2} -4y ^{2} +i`v(x,``y)] 가 정함수(entire function)가 되도록 하는 양의 실수 [eqn: a,``b]의 값과, 이 때의 [eqn: f` prime` LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) `]의 값을 각각 풀이과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: v(x,``y)~]는 실숫값 함수이다.) [4점] 4. 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f_{n}:VecR `->` VecR]를 [eqn: f _{n} (x)= {7(sinx) ^{2n-1} cosx} over {2+(sinx) ^{2n}}] 로 정의하자. [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f _{n} (x)} `dx]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [3점]	5. 구간 [eqn: (-3,``3)]에서 미분가능한 함수 [eqn: f`]에 대하여 [eqn: S=□x`|`f(x)=0`,``-2 LEQ x LEQ 2□] 라 하자. [eqn: S`]가 무한집합일 때, [eqn: f(a) = 0]과 [eqn: f``' (a) = 0]을 모두 만족하는 실수 [eqn: a`]가 존재함을 증명하시오. [5점] 해석영역 (2면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과