2023학년도 목원대학교 수학교육과 1차(3월) 졸업시험
수 학(수학교육 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. 다음은 19세기 말부터 100여년 동안 이루어진 수학교육의 변천에 한 자료를 순서 없이 제시한 것이다. (가)~(마)를 수학교육의 역사 흐름에 따라 순서대로 배열하시오. [2점]

가. ‘기본으로 돌아가기 운동(The Back-to-Basics Movement)’의 향으로 학교 수학에서는 기본 기능을 강조하는 방향으로 교재를 재구성하였다. 그러나 우수한 학생들의 학력이 저하되고 응용력과 문제해결 능력이 감소되기도 하다.

나. 전통적인 방식으로 유클리드 기하를 가르치는 것에서 벗어나 실험 기하를 가르치고, 수학의 실용성, 유용성 등을 강조하였다. 학교 수학의 내용을 체계적으로 다듬으려는 노력이 시작되었으며, 학교 수학에 함수 개념을 도입한 교과서가 출판되었다.

다. 지식의 획득에서 지식의 구성으로, 문제해결에서 문제 제기로 수학교육의 강조을 변화시키자는 흐름이 본격적으로 일어났다. 그리고 ‘수학 학습 수 이론’, ‘현실주의 수학교육(Realistic Mathematics Education)’ 등 여러 이론과 모델이 발전하였다.

라. 과학기술의 급격한 발달에 따라 수학의 응용 범위가 확대되었으나 학교 수학의 내용이 시대에 뒤떨어진다는 반성으로 집합, 함수, 수 개념, 확률 등을 조기에 도입하고자 하였다. 이 시기에 일어난 변화는 우리나라 제3차 교육과정에 영향을 미쳤다.

마. 근대화된 사회의 모습을 반영하여 수학교육을 개선하여야 한다는 주장이 제기되었다. 엄밀하고 논리적 체계를 갖춘 유클리드 원론 중심의 수학교육, 형식 도야라는 명분으로 과도한 훈련을 하는 수학교육, 소수 특권층을 한 수학교육 등 당시의 수학교육 실태를 개선하여야 한다는 비판이 있었으나 실제로 크게 개선되지는 못했다.

2. 다음은 라카토스(I. Lakatos)의 경험주의 수리철학에 한 두 교사의 대화이다. 전면적 반례에 의해 추측이 비판되었을 때 대응하는 방식 ㉠과 ㉡을 라카토스가 제시한 용어로 순서대로 쓰시오. [2점]

	<보 기>
이 교사 : 라카토스에 따르면 수학 지식은 반증 되기까지 잠정적으로 참이며, 증명은 원래의 추측을 부분 추측으로 분해하는 사고실험이에요. 김 교사 : 수학 추측이 증명되었을 때 그 추측을 반박하는 면 반례가 등장하면 어떻게 하나요? 이 교사 : 대응하는 방식이 여러 가지가 있는데요. 한 방식은 ㉠이미 증명된 추측은 그로 두고 오히려 반례가 잘못되었다고 보아 원래의 추측을 존속시키는 거예요. 이 방식은 반례와 관련된 개념을 추측이 성립하는 역역 밖으로 몰아내는 것에 주로 관심을 두어 개념을 재정의하지요. 김 교사 : 다른 방식은 어떤 것이 있나요? 이 교사 : ㉡전면적 반례가 출현하게 된 원인이 되는 부분 추측을 찾아 원래의 추측에 합체시키고 증명과 추측을 개선하는 방식이 있어요. 이 방식에서 전면적 반례는 동시에 국소적 반례도 되지요. 이 방식을 통해 발견과 정당화의 논리가 분리되지 않고 하나로 통합될 수 있어요.

수학교육 (4면 중 1 면)                     목원대학교 수학교육과

서술형 【3∼7】

3. 임 교사는 수학 시간에 학생들에게 ‘로그’ 개념을 지도하고자 한다. 김 교사는 수업의 도입 부분에서 ‘로그’ 개념과 관련하여 수학사와 관련된 내용을 소개하려고 한다. 로그 개념의 발생 배경 및 발달 과정을 간략히 서술하고(배경, 아이디어, 자연로그의 발생), 수학사를 수학교육에 이용하여 얻을 수 있는 이점을 2가지 쓰시오. [5점]

4. 다음은 공학 도구를 활용하여 피타고라스 정리의 기하학적 의미를 탐구하는 과정에서 김 교사와 학생들이 나눈 대화의 일부이다.

공학 도구를 활용한 수업에서 나타날 수 있는 극단적인 교수 현상 중 ①에 해당하는 것을 제시하고 제시한 현상의 의미를 위의 상황과 관련지어 설명하시오. 또한 공학 도구를 수학 수업에 활용할 경우 장점을 1가지 쓰시오. [5점]

5. 학교수학에서는 지수법칙을 지수가 자연수인 경우에서 출발해서 정수인 경우, 유리수인 경우, 실수인 경우까지 확장한다. 다음 제시 내용을 오수벨의 유의미한 설명식 학습으로 지도하고자 한다. ‘통합적 조정의 원리’에 대해 쓰고, 이를 적용하여 아래 지도 내용을 설명하는 과정을 쓰시오. [4점] 지수의 확장(유리수인 지수) [eqn: a>0]이고 [eqn: m]은 정수, [eqn: n]은 2 이상의 정수일 때, [eqn: a ^{{m} over {n}} = root {n} of {a ^{m}}] 특히, [eqn: a ^{{1} over {n}} `=` root {n} of {a}]	6. 중학교 1학년 통계 단원에서는 다양한 그래프 표현 방법을 지도하고 있다. 히스토그램의 유용성과 단점을 간략히 쓰고, 다음 그림은 중학교 수학 <확률과 통계> 영역의 교수학습 유의사항 중 어느 요소를 반영하여 지도하였는지 서술하시오. [3점] 수학교육 (4면 중 3 면) 목원대학교 수학교육과

7. 고등학교 확률과 통계의 순열과 조합 단원 수업에서 학생의 추론 능력을 평가하기 위하여 서술형 평가를 실시한다. 다음은 평가 문항과 학생의 답안이다.

학생의 답안에 나타난 추론의 유형을 쓰고, 그 유형의 특성을 설명하시오. 그리고 학생의 추론적 사고가 가진 제한점을 보완할 수 있는 지도 방안을 1가지 서술하시오. [3점]

수학교육 (4면 중 4 면)                     목원대학교 수학교육과

2023학년도 목원대학교 수학교육과 1차(3월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

◦ 밑줄 있는 번호는 3학년이 풀 수 있는 문제

입니다.

기입형 【1∼4】

1. 선형사상 [eqn: T:ℝ ^{4} `` rarrow `ℝ ^{2}]이

[eqn: T(x,y,z,w)=(x-y+z,`x-2y+w)]

로 주어질 때, [eqn: T`]의 핵(kernel)공간의 기저를 구하시오.

[2점]

2. [eqn: (x+1) ^{2} == 0(mod``23)]의 해의 개수를 구하시오. [2점]

3. 군준동형사상  [eqn: phi : VecZ _{6} _{~} rarrow ` VecZ _{8}]의 개수를 구하시오. [2점]

4. 잉여군 [eqn: ( VecZ _{5} TIMES VecZ _{15} )/<(3,3)>]에서 [eqn: (3,5)+<(3,3)>`]의 위수를 구하시오. [2점]

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. 이차형식 [eqn: 3x ^{2} +2xy+3y ^{2} `]에 대하여

[eqn: X=ax+by,~Y=cx+dy`]

으로 치환하면

[eqn: 3x ^{2} +2xy+3y ^{2} = lambda _{1} X ^{2} + lambda _{2} Y ^{2} `]

으로 표현된다. 실수 [eqn: a,~b,~c,~d,~ lambda _{1} ,~ lambda _{2} `]를 구하시오. [4점]

2. 방정식 [eqn: x ^{2} -x+2 == 0`(mod`15)]의 해를 모두 구하시오. [4점]

3. 환준동형사상  [eqn: phi : VecZ _{~} rarrow `VecZ _{n}]이

[eqn: phi (k)=k~(`mod`n),` ^{FORALL } k IN VecZ]

로 정의될 때 [eqn: phi]의 핵(kernel) [eqn: N`]을 구하고, 잉여환 [eqn: VecZ / N`]이 체가 되도록하는 [eqn: n`]의 조건을 구하시오. [4점]

4. 환준동형사상 [eqn: psi `:`VecQ[x]` rarrow `VecR,~][eqn: psi (f(x))=f( sqrt {5} )]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [5점]

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

(1) [eqn: ker( psi )`]를 구하시오. [2점]

(2) [eqn: im( psi )]는 체가 됨을 보이시오. [3점]

2023학년도 목원대학교 수학교육과 1차(3월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. 좌표공간의 영역 [eqn: Omega]를

[eqn: Omega= LEFT { `(x`,``y`,``z)` LEFT | `x ^{2} +y ^{2} LEQ (1+z) ^{2}`,```0le z le1 ` RIGHT } RIGHT .]

이라 할 때, 삼중적분 [eqn: tint _{Omega} ^{} {z``} dV]의 값을 구하시오. [2점]

2. 실수 [eqn: t`]에 대하여

[eqn: g(t)= 1overpi dint _{D} ^{} {(x^2 +y^2 +1)^2t `} dxdy]

라 할 때, [eqn: g(-2)`]의 값을 쓰시오.

(단, [eqn: D`= LEFT { `(x,`y)` IN `` VecR ^{2} `` LEFT : ``x ^{2} +y^2 le1` RIGHT } RIGHT .]이다.) [2점]

서술형 【1∼5】

1. 함수 [eqn: u:VecR^2 -> VecR`]를

[eqn: u(x,y)=x^2 -2xy-y^2 +2x-3y]

라 하자. 적분 [eqn: int _{0} ^{2 pi } {u(1+2cos theta ,``2sin theta )}` d theta `]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

2. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f _{n} `:`[0,1] `rarrow` VecR `]를

[eqn: f_n (x)=n^n x^n (1-x)^n^2]

으로 정의하고, [eqn: f_n]의 최댓값을 [eqn: M_n]이라 하자. 거듭제곱 급수(멱급수, power series) [eqn: sum_{n=1}^inf{M_n x^n}]의 수렴반경(수렴반지름, radius of convergence)을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. 구간 [eqn: LEFT ( -{pi } over {2} ,`` {pi } over {2} RIGHT )]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=tan x]의 역함수를 [eqn: g: VecR` rarrow `LEFT ( -{pi } over {2} ,`` {pi } over {2} RIGHT )]라 하자. [eqn: lim_{n->inf}{``n left{`g`left(1+ 2overn right)`-g(1)}right}]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 [eqn: int_0^inf {g(x) over 1+x^2}`dx]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

4. [eqn: |`x`|<1`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: {2} over {(1-x) ^{3}} `= sum _{n=0} ^{INF } a _{n} `x ^{n}], [eqn: {x(1+x)} over {(1-x) ^{3}} `= sum _{n=0} ^{INF } b _{n} `x ^{n}]

일 때, [eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {` {b _{n}} over {a _{n}}}`]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

※ 다음 식은 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

[eqn: |`x`|<1`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: {1} over {1-x} `= sum _{n=0} ^{INF }`x ^{n}`]이다.

5. 복소방정식 [eqn: z ^{3} -z-3=0]이 영역 [eqn: □`z IN VecC `` LEFT | ``|`z`|<2`□ RIGHT .]에서 갖는 근의 개수를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선을 [eqn: C`]라 할 때, 선적분 [eqn: int _{C} ^{} {` {1} over {(z-4)(z ^{3} -z-3)}} `dz`]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

(단, 다중근의 경우 중복되는 수만큼 근의 개수로 인정한다.) [서술형, 5점]

※ 다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

(가) 함수 [eqn: f(z)]와 [eqn: g(z)]가 단순닫힌곡선(simple closed curve) [eqn: gamma]와 그 내부에서 해석적이라 하자. 곡선 [eqn: gamma] 위의 모든 점 [eqn: z`]에 대하여 부등식 [eqn: left|g(z)right|<left|f(z)right|]이 성립하면 두 함수 [eqn: f(z)]와 [eqn: f(z)+g(z)]는 [eqn: gamma] 내부에서 같은 개수의 영점(zero)을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: f(z)]가 시계반대방향의 단순닫힌곡선 [eqn: gamma]의 내부에 있는 유한개의 특이점(singular point)을 제외하고 복소평면 전체에서 해석적일 때, 다음이 성립한다.

[eqn: int _{gamma} ^{} {f(z)} `dz`=`2 pi i`` rm Res it ` LEFT ( {1} over {z ^{2}} f` LEFT ( {1} over {z} RIGHT ) `,``0 RIGHT )]

2023학년도 목원대학교 수학교육과 1차(3월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25+2점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 일반화된 이항계수 [eqn: {- 1over2}choose n`]이 [eqn: {pmatrix{2n#n}}` =f(n) TIMES {pmatrix{- {1} over {2}#n}} `]을 만족할 때, [eqn: f(n)`]과 [eqn: sum_{n=0}^inf 2n choose n left(1over5right)^n`]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: n`]은 음이 아닌 정수이다.) [서술형, 4점]

2.  자연수 집합 [eqn: ℕ]의 위상 [eqn: IMAG`]은 조건

[eqn: A_n `=` left{ k `in` ℕ `` vert ` k >= 2n right} `in` IMAG `, ~ FORALL n `in` ℕ]

을 만족하는 가장 약한 위상이다. 위상공간 [eqn: (`ℕ``,`` IMAG `)`]에 대한 다음 물음에 답하시오. [4점]

2-1. 집합 [eqn: A `=` left{ n `, ` n+1 right}]의 폐포를 구하시오. (2점)

2-2. 점열 [eqn: < a_n > , ~ a_n = 1 `,` FORALL n `in` ℕ]의 극한을 구하시오. (2점)

3. 어떤 정책에 대한 A, B 두 도시 시민의 의견을 알아보기 위하여 각 도시에서 확률표본을 선택하여 이 정책에 대한 찬성 여부를 알아본 결과는 다음과 같다.

	A 도시	B 도시
표본의 수	350명	160명
정책에 찬성한 비율	0.7	0.8

A, B 두 도시의 이 정책에 대한 찬성 비율을 각각 [eqn: p_1], [eqn: p_2]라 할 때, 찬성 비율의 평균 [eqn: {p_1 +p_2}over2]에 대한 [eqn: 90%] 신뢰구간은 [eqn: (a-1.645times b,a+1.645times b``)]이다. [eqn: a,``b]의 값을 각각 구하시오. (단, 확률변수 [eqn: Z`]가 [eqn: N`(`0,``1)]을 따를 때, [eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ 1.645)=][eqn: 0.45]로 계산한다.) [서술형, 3점]

4. 두 확률변수 [eqn: X`]와 [eqn: Y`]의 결합확률밀도함수(joint probability density function) [eqn: f(`x`,``y)]를

[eqn: f(`x,``y)= {cases{``1_`&,~&0<x<1,``0<y<1_`#``0^`&,&그``외의``경우^`}}]

라 하고 확률변수 [eqn: Z`]를 [eqn: Z`=Y-X`]라 하자. [eqn: Z`]의 누적분포함수(cumulative distribution function) [eqn: G(z)]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 [eqn: g(z)]를 [eqn: Z`]의 확률밀도함수(probability density function)라 할 때, [eqn: {rmP}left(g(Z`)> 1over2 right)]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점]

위상•미기•이산•확통 (2면 중 2 면)                    목원대학교 수학교육과

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

서술형 【1∼4】

5. 곡면 [eqn: M `: x^2 + y^2 = 1 `]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [3점]

5-1. 점 [eqn: (1,0,0)]에서 주요곡률과 주요벡터를 구하시오. (1점)

5-2, 점 [eqn: (1,0,0)]에서 [eqn: {bold\u} `=` left( 0`,` 1 over sqrt{2} `,` 1 over sqrt{2} right)]뱡향의 법곡률 [eqn: k ( { bold \u } )]를 구하시오 (2점)

6. 집합 [eqn: K = left{ 1 over n ` right vert ` n은~자연수 right}]에 대하여 집합 [eqn: OMEGA]를

[eqn: OMEGA `=` left{ ( a,b) ` vert ` a,b `in` ℝ,~ a<b right} cup left{ (a,b) - K ``` vert `a,b `in` ℝ,~ a<b right}]라 하고, [eqn: OMEGA]룰 기저로 하는 [eqn: ℝ]의 위상을 [eqn: IMAG]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [4점]

6-1. 위상공간 [eqn: ( ℝ, IMAG )]에서 점열 [eqn: < p_n > `, ~ p_n = 1 over n]의 극한을 구하시오. [2점]

6-2. [eqn: [0`,`1]]이 [eqn: ( ℝ, IMAG )]에서 compact 집합이 아님을 설명하시오. [2점]

7. 두 곡면 [eqn: M_1 `: x^2 + y^2 = 1 ``,~ M_2 : x^2 + z^2 = 1`]의 교선 중 [eqn: left{ ( x,y,z) `in` ℝ^3 ` vert ` x>0 `, ` y>0 `,` z>0 right}]에 놓인 부분을 [eqn: C``]라 할 때, [eqn: C `]에 대한 다음 물음에 답하시오. [3점+2]

7-1. [eqn: {bold \ alpha} (t) = left( cos t `, ` sin t `,` sin t )]가 곡선 [eqn: C`]의 매개변수표현임을 보이시오. (1점)

7-2. 점 [eqn: p `=` left( 1 over sqrt{2} `,`1 over sqrt{2} `,`1 over sqrt{2} right)]에서 [eqn: C`]의 곡률을 구하시오. (2점)

7-3. [eqn: C`]는 평면곡선이다. [eqn: C`]가 포함된 평면의 방정식을 구하시오. (2점)