2023학년도 목원대학교 수학교육과 2차(10월) 졸업시험
수 학(수학교육 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. 다음은 증명에 대한 두 절대주의 수리철학의 관점 (가)와 (나)를 제시한 것이다. (가)와 (나)에 해당하는 수리철학을 순서대로 쓰시오. [2점]

(가) 어떤 수학적 대상이 존재함을 보장하기 위해서는 그 대상이 존재하지 않는다고 가정한 후 모순을 이끌어 내는 것만으로는 충분하지 않으며, 유한 번으로 구성될 수 있음을 밝혀야 한다. 배중률을 사용한 존재성 증명은 받아들일 수 없다.

(나) 수학은 엄밀한 방법으로 모순이 없고 완전한 공리 체계로 구성되어야 한다. 기호가 의미하는 것은 중요하지 않기 때문에 점, 선, 면 대신 연필, 의자, 책상이라는 용어를 사용하여도 무방하다. 증명은 정해진 규칙에 따라 의미 없는 기호를 다루는 일종의 기호 조작이다.

2. 박 교사는 다항식의 곱셈과 관련하여 <보기>의 학습 내용을 ①에서부터 순서대로 지도하려고 한다. 이 때, 박 교사가 계획한 학습 내용의 지도 순서와 관련하여, 그의 생각에 반영되어 있는 원리를 쓰고 그 원리에 대해 약술하시오.[2점]

① [eqn: (a+b)(c+d)]의 전개

② [eqn: (a+b) ^{2}]의 전개

③ [eqn: 101 ^{2}]의 계산

수학교육 (4면 중 1 면)                     목원대학교 수학교육과

서술형 【3∼7】

3. 상관관계를 지도하는 수업 시간에 학생들에게 ‘휴대전화 사용 시간과 수면 시간의 상관관계’를 포스터로 제작하도록 하였다. A 모둠 학생들이 만든 포스터는 다음과 같다.

이 수업의 평가 방법으로 프로젝트 평가가 적절한 이유를 설

명하시오. 그리고 평가 항목 (3)에 따라 A 모둠 포스터의

‘자료 분석’을, 평가 항목 (4)에 따라 A 모둠 포스터의 ‘결론’

을 평가하여 그 결과를 각각 서술하시오.[4점]

4. 다음 <자료 1>은 원주각의 성질을 지도하는 수업 상황의 일부이다.

사회적 구성주의와 급진적 구성주의의 차이점을 쓰고, 수업 상황을 사회적 구성주의 이론의 ‘객관화된 수학 지식을 얻기까지 거쳐야 할 과정’의 관점에서 <자료1>의 내용을 분석하시오.[4점]

5. 신교사는 <수열의 수렴과 발산>을 지도한 후 아래와 같이 ‘진동하는 수열’에 대한 탐구주제로 수업을 하였다. <주제: 진동하는 수열> 교사: 진동하는 수열에 대한 여러분의 생각을 발표하도록 하죠. 학생 1: 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀝니다. 학생 2: 진동하는 수열의 각 항의 값은 항상 교대로 반복합니다. 학생 3: 양수와 음수가 교대로 반복되어 나타나면 항상 진동하는 수열입니다. 학생 1: [eqn: (-1) ^{n}]과 같은 수열은 –1, 1, -1, 1, -1, … 이므로 진동하고 있어요. 그러니까 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀌는 것이 맞습니다. 학생 2: 그럼 내 생각대로 진동하는 수열의 각 항의 값도 –1, 1, -1, 1 과 같이 항상 교대로 반복하는 것이 옳을까요? <중략> 교사: 토론을 통해서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 n이 한없이 커짐에 따라 일반항 [eqn: a _{n}]의 값이 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 수열은 진동한다고 합니다. 지금 여러분이 발견한 내용을 정리하면 진동하는 수열이라고 해서 항상 각 항의 부호가 바뀌는 것은 아니고, 항상 일정한 값이 반복되어 나타나는 것도 아닙니다. 또 양수와 음수가 반복되어 나타난다고 해서 항상 진동하는 수열이라고 할 수 없어요. 위의 수업에서 사회적 구성주의의 지식의 구성 과정에 따라 <중략> 부분에서 학생들의 지식을 재구성하는 과정을 쓰시오.[3점]	6. 다음은 강 교사와 임 교사가 학기 초에 수학 교과의 평가 방법을 논의하면서 나눈 대화의 일부이다. 밑줄 친 ㉠, ㉡의 평가 방법의 명칭을 2015 개정 수학과 교육과정의 ‘평가 방법’에 제시된 용어로 순서대로 쓰시오. 또한 2015 개정 수학과 교육과정의 ‘평가 원칙’에 제시된 수학과 평가의 목적을 기술하고, 그 목적의 관점에서 밑줄 친 ㉠의 평가 방법이 갖는 장점을 1가지 서술하시오. [4점] 수학교육 (4면 중 3 면) 목원대학교 수학교육과

7. 다음은 피타고라스 정리를 지도하는 예시입니다. <1단계> 학습할 주제를 학생들에게 소개한다. <2단계> 직각 삼각형을 만들고 이 삼각형의 밑변, 높이, 빗변을 한 변으로 갖는 각각의 정사각형 넓이를 구한다.(단, 밑변의 길이와 높이는 양의 정수) <3단계> 다른 직각삼각형을 몇 개 더 만들어 보고 각각의 삼각형에 <2단계>를 실시하여 결과를 모두 다음과 같이 표에 기록한다. <4단계> 표를 보고 정사각형 넓이 사이의 규칙성을 알아본다. <5단계> 직각삼각형의 밑변의 길이, 높이, 빗변의 길이를 각각 [eqn: a,b,c]라 하고 그 각각의 변을 한 변으로 갖는 정사각형 넓이 사이의 규칙성을 식으로 표현한다. 폴리아(G. Polya)에 따르면, <2단계>부터 <3단계>에 해당하는 추론 유형가 무엇인지 쓰고 이러한 추론 유형의 교육적 의의를 쓰시오. 또한 반 힐레(P. M. van Hiele)의 교수․학습 단계에 따르면 <2단계>부터 <3단계>에 해당되는 단계가 무엇인지 쓰고, 그 단계의 특징을 쓰시오.[4점]	수학교육 (4면 중 4 면) 목원대학교 수학교육과

2023학년도 목원대학교 수학교육과 2차(10월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

◦ 밑줄 있는 번호는 3학년이 풀 수 있는 문제

입니다.

기입형 【1∼4】

1. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``````2&-5&`````1#-1&`````4&`````3#`````3&`````2&`````1}}]의 rank를 구하시오.[2점]

2. 방정식 [eqn: 4x+10 == 0(mod``18)]의 해를 구하시오.[2점]

3. 군준동형사상  [eqn: phi : VecZ _{~} rarrow ` VecZ _{8}]의 개수를 구하시오. [2점]

4. 잉여군 [eqn: ( VecZ _{6} TIMES VecZ _{8} )/<(2,6)>]의 원소 [eqn: (5,2)+<(2,6)>]의 위수를 구하시오. [2점]

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. [eqn: n`]차 정방행렬 [eqn: A`]가 서로 다른 고윳값 [eqn: lambda _{1} , CDOTS , lambda _{n`}]을 가질 때 행렬 [eqn: A`]에 대하여 [eqn: tr(A)`]와 det([eqn: A])를 구하시오.[4점]

2. 방정식 [eqn: x ^{2} +10x+k == 0`(mod``23)]의 해가 존재하는 정수 [eqn: k]를 모두 구하시오.(단, [eqn: 0 LEQ k LEQ 22]) [4점]

3. 군 [eqn: G`]의 위수가 28이면 [eqn: G`]는 단순군이 아님을 보이시오.[4점]

4. 체 [eqn: VecQ] 위의 다항식 [eqn: f(x)=x ^{4} -9 IN VecQ [x]]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [5점]

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

(1) [eqn: f(x)]의 분해체 [eqn: K``]를 구하시오.  [2점]

(2) 갈로아군 [eqn: G(K/ VecQ)]와 동형인 군을 구하시오. [3점]

2023학년도 목원대학교 수학교육과 2차(10월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. 좌표평면의 영역 [eqn: D]가

[eqn: D`=left{`(x,`y)`in``VecR^2``left|``0le x le3`,``0le y le3`right}]

일 때, 함수 [eqn: f:D``->`VecR`]를 다음과 같이 정의하자.

[eqn: f(x,``y)=cases{``y^2,&y ge rmsin itrootx#&#``sin rootx ,~&y<sin rootx}]

두 반복적분의 합

[eqn: int_0^3int_0^3{`f(x`,``y)`}dy`}dx+int_0^3{int_0^{sin rootx}{(y^2 -sin rootx )`}dy`}dx]

의 값을 구하시오. [2점]

2. 구간 [eqn: LEFT ( -{pi } over {2} ,`` {pi } over {2} RIGHT )]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=tan x]의 역함수를 [eqn: g: VecR` rarrow `LEFT ( -{pi } over {2} ,`` {pi } over {2} RIGHT )]라 하자. [eqn: g'left(root3right)]의 값과 [eqn: int_0^inf {g(x) over 1+x^2}`dx]의 값을 순서대로 쓰시오. [2점]

서술형 【1∼5】

1. 복소수 [eqn: z=x+iy```(x,`y는```실수)]에 대한 함수

[eqn: f(z)=4x^2 -ay^2 +e^-3y cos`(bx)+i`v(x,``y)]

가 정함수(entire function)가 되도록 하는 양의 실수 [eqn: a,``b]의 값과, 이 때의 [eqn: f` ' left(pi over2right)`]의 값을 각각 풀이과정과 함께 쓰시오.

(단, [eqn: v(x,``y)~]는 실숫값 함수이다.) [4점]

2. 일반화된 이항계수 [eqn: {- 1over2}choose n`]이 [eqn: 2n choose n = f(n) times {- 1over2}choose n`]을 만족할 때, [eqn: f(n)`]과 [eqn: sum_{n=0}^inf 2n choose n left(1over6 right)^n`]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: n`]은 음이 아닌 정수이다.) [4점]

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. 연속함수 [eqn: f`:`[`0`,``1]``->``[`0`,``1]`]은 [eqn: (`0,``1)`]에서 미분가능하다. 모든 [eqn: x`in(`0,``1)`]에 대하여 [eqn: f`'(`x)>1`]일 때, [eqn: f(a)=a``(`0 le a le 1)`]을 만족하는 [eqn: a`]가 유일하게 존재함을 증명하시오. [4점] 4. 함수항 급수 [eqn: sum_{n=1}^inf 1overn{tan}^-1 x overn`]가 실수 전체의 집합 [eqn: VecR`]에서 점별수렴(pointwise convergence)함을 보이시오. 또 함수 [eqn: f(x)=sum_{n=1}^inf{`1overn`{tan}^-1 x overn`}] 는 균등연속(고른연속, 평등연속, uniformly continuous)임을 보이시오. (단, [eqn: tan^-1 :`VecR``->``left(`- pi over2`,``pi over2`right)`]는 탄젠트함수의 역함수이다.) [5점]	5. 복소평면에서 중심이 [eqn: i`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 [eqn: C``]에 대하여 선적분 [eqn: int _{``C} ^{} {``{7e ^{-iz}} over {(z+5i)(z-2i)} `} `dz`] 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

2023학년도 목원대학교 수학교육과 2차(10월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
1차 시험	2교시 전공A	6문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오. ◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다. 1. 다음 물음에 답하시오. (1) 같은 종류의 물건 [eqn: n]개를 [eqn: m]명의 학생에게 나누어주는데 하나도 받지 못하는 학생이 있는 경우를 포함하는 경우의 수를 [eqn: f(n,`m)]이라 할 때, [eqn: f(`4`,`5)]의 값을 구하시오. [기입형, 2점] (2) 자연수 [eqn: n]에 대하여, 방정식 [eqn: x+y+z=n] (단, [eqn: 1le x le7,``0le y,``0le z]) 을 만족하는 정수해의 개수를 구하시오. [기입형, 2점] 2. 집합 [eqn: A= LEFT { 0,1,2 RIGHT }]는 이산위상 [eqn: D]를 가진다. 실수 집합 [eqn: VecR]상에서 함수 [eqn: f:VecR` -> `A]을 [eqn: f(x)= {cases{0,&x IN VecZ ,#1,&x IN ` VecQ - VecZ ,#2,&x IN VecR - VecQ }}] 으로 정의하자. [eqn: VecR] 상의 위상 [eqn: IMAG]를 [eqn: IMAG = LEFT { f ^{-1`} (G)`|`G` IN `D RIGHT }]으로 정의할 때 위상공간 [eqn: (VecR, IMAG)]에 대하여 다음 물음에 답하시오. 1. 점렬 [eqn: < {1} over {n} >] 의 수렴성을 판단하고 수렴하는 경우에는 모든 수렴점을 구하시오.(3점) 2. 부분집합 [eqn: A= LEFT { 0 RIGHT }]의 도집합을 구하시오.(3점)	3. 확률변수 [eqn: X]의 적률생성함수(moment generating function) [eqn: M_X (t)]가 [eqn: M_X (t)= 1over(1-3t)^4] [eqn: LEFT (` t< {1} over {3} RIGHT )] 이다. 확률변수 [eqn: X]의 분산을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 3점] 4. 두 확률변수 [eqn: X`]와 [eqn: Y`]의 결합확률밀도함수(joint probability density function) [eqn: f(`x`,``y)]를 [eqn: f(`x,``y)= {cases{``2&,~&0<x<2-y<1#``0&,&그``외의``경우}}] 라 하고 확률변수 [eqn: Z`]를 [eqn: Z`=Y-X`]라 하자. [eqn: Z`]의 누적분포함수(cumulative distribution function) [eqn: G(z)]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 [eqn: g(z)]를 [eqn: Z`]의 확률밀도함수(probability density function)라 할 때, [eqn: rmP itleft(g(Z`)> 1over2 right)]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점] 위상•미기•이산•확통 (2면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

서술형 【1∼4】

1. 곡면 [eqn: M `]은 [eqn: ℝ^3]의 곡선 [eqn: {bold alpha } (t) `=` ( t `,` e^t `,` 0 )]을 [eqn: x `]축을 회전축으로 회전시킨 회전면이다. 점 [eqn: (0`, `1`,`0)]에서 [eqn: M `]의 법곡률의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오 [3점]

2. 두 곡면 [eqn: M_1 `: x^2 + y^2 = 1 ``,~ M_2 : x `+`y`+` z = 1`]의 교선 [eqn: C ``]에 대한 다음 물음에 답하시오. [5점]

7-1. [eqn: C ``]의 매개변수식을 구하시오. [1점]

7-2. 점 [eqn: p `=` left( 1 `,`0 `,`0 right)]에서 [eqn: C`]의 곡률을 구하시오. (2점)

7-2. [eqn: C`]는 평면곡선이다. 곡선 [eqn: C`]의 곡률합 [eqn: int_C kappa (p) ds]를 구하시오. (2점)