2023학년도 목원대학교 수학교육과 1차(3월) 졸업시험
수 학(수학교육 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 23점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. 김 교사는 반 힐레(P. van Hiele)의 수학 학습 수준 상승을 위한 교수․학습 □단계를 적용하여 고등학교 조합 단원의 수업을 계획하였다. 다음은 김 교사가 계획한 수업 과정을 순서 없이 나열한 것이다. 교수․학습 □단계에 따라 (가)～(마)를 순서대로 배열하고, (마) 단계의 명칭을 쓰시오.[2점]

2. 다음 (가), (나)는 교사 A와 B가 다항식의 곱셈을

지도하는 수업 상황이다.

(가)의 수업 상황에서 발생할 수 있는 극단적인 교수학적

현상이 무엇인지 쓰고, 그 이유를 설명하시오.[2점]

수학교육 (4면 중 1 면)                     목원대학교 수학교육과

서술형 【3∼7】

3. 신교사는 <수열의 수렴과 발산>을 지도한 후 아래와 같이 ‘진동하는 수열’에 대한 탐구주제로 수업을 하였다.

<주제: 진동하는 수열>

교사: 진동하는 수열에 대한 여러분의 생각을 발표하도록 하죠.

학생 1: 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀝니다.

학생 2: 진동하는 수열의 각 항의 값은 항상 교대로 반복합니다.

학생 3: 양수와 음수가 교대로 반복되어 나타나면 항상 진동하는 수열입니다.

학생 1: [eqn: (-1) ^{n}]과 같은 수열은 –1, 1, -1, 1, -1, … 이므로 진동하고 있어요. 그러니까 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀌는 것이 맞습니다.

학생 2: 그럼 내 생각대로 진동하는 수열의 각 항의 값도 –1, 1, -1, 1 과 같이 항상 교대로 반복하는 것이 옳을까요?

<중략>

교사: 토론을 통해서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 n이 한없이 커짐에 따라 일반항 [eqn: a _{n}]의 값이 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 수열은 진동한다고 합니다. 지금 여러분이 발견한 내용을 정리하면 진동하는 수열이라고 해서 항상 각 항의 부호가 바뀌는 것은 아니고, 항상 일정한 값이 반복되어 나타나는 것도 아닙니다. 또 양수와 음수가 반복되어 나타난다고 해서 항상 진동하는 수열이라고 할 수 없어요.

위의 수업에서 사회적 구성주의의 지식의 구성 과정에 따라

<중략> 부분에서 학생들의 지식을 재구성하는 과정을 쓰시오.[3점]

4. 다음은 ‘이차식의 인수분해’에 대한 중학교 수업의 일부이다.

위에 제시된 교사의 수업에서 나타날 수 있는 극단적인 교수 현상을 의미하는 브루소(G. Brousseau)의 용어를 쓰고, 그 판단근거를 수업 내용과 관련지어 설명하시오.

또한□[eqn: x ^{2} +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]에 대한 학생 A의 이해 상태를 의미하는 스켐프(R. Skemp)의 용어를 쓰고, 밑줄 친 부분에서 학생 B가 가지고 있을 것으로 예상되는 문자에 대한 오개념 1가지를 제시하시오.[4점]

5. 최 교사는 “기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는

서로 평행하거나 일치한다”는 학습 내용을 지도하려고 한다. 다음은 최 교사가 수업에 사용하기 위해 만든 학습 자료와 그 학습 자료를 활용한 학습 활동에 대한 계획이다.

딘즈(Z. Dienes)가 제안한 수학 학습 원리 중 수학적 다양성 원리의 관점에서 최교사의 수업계획을 평가하시오.[3점]

6. 다음은 문제설정(problem posing)에 관한 설명이다.

최교사: 브라운(Brown)과 월터(Walter)는 만일 그렇지 않으면 어떻게 될까?(what-if-not)라는 문제설정 전략을 제시하였습니다. 이들이 제시하는 문제설정 전략은 출발점 선택, 속성 나열하기, 만일 그렇지 않으면 어떻게 될까? 를 이용한 문제설정, 문제해결의 단계로 이루어집니다.

김교사: 저는 선생님이 말씀하신 전략을 이용하여 피타고라스 정리를 일반화한 것이 제이코사인법칙이라는 것을 보이기 위한 수업을 계획해 보려고 합니다.

최교사: 출발점 선택은 피타고라스 정리이고, 다음으로 속성을 나열하면 직각삼각형, 변의 길이 사의 관계 등이 있습니다.

김교사: 그럼 문제를 설정하면 되겠어요.

최교사가 ‘속성 나열하기’에 제시한 속성과 관련된 문제를 하나 제시하고, 문제해결의 단계를 간략히 설명하시오.

또한 이러한 문제제기 활동의 수학교육적 의미를 1가지 쓰시오.[3점]

수학교육 (4면 중 3 면)                     목원대학교 수학교육과

7. 다음은 김 교사가 박 교사의 수업을 참관한 후 작성한 참관일지의 일부이다. 피아제(J. Piaget)는 활동에 대한 일반적 조정으로부터의 추상화를 반영적 추상화라고 하였다. 반영적 추상화의 예를 위 참관일지의 상황에서 1가지 찾아, 이 추상화의 과정을 반사와 반성으로 구분하여 그 근거와 함께 설명하시오. [3점]	8. 다음은 중학교 2학년 삼각형의 외심에 대해 다음과 같은 활동을 한 후 형식적인 정당화를 하였다. 다음 학생과 교사가 대화하는 것을 보고 다음에 답하시오. 교사: 자~ 오늘 수업을 한 다음 자신의 어려운 점이나 재미있었던 점을 같이 이야기 해 볼까? 은혜: 저는 수업시간에 탐구활동에서 종이접기로 삼각형의 외심에 대한 성질을 확인하는 과정은 재미도 있고 이해도 잘되었어요. 그리고 그 성질이 성립하는 이유를 선생님이 설명하시는 것을 보면 저도 할 수 있을 것 같았어요. 그런데 혼자서 그 성질이 성립하는 이유를 풀어보려면 어떻게 해야할지 모르겠어요. 교사: 음 그렇구나. 그럼 윤정이는 어땠니? 윤정: 저는 종이접기로 확인하면 되지 왜 다시 그 성질이 성립하는지 이유를 설명하는 문제를 풀어야 하는지 모르겠어요. 사실 평행사변형의 경우도 초등학교에서 배워서 아는데 중학교에 와서 그 성질이 성립하는 이유를 설명하더라구요. 두 학생의 엄밀한 연역적 정당화 과정에 대한 생각과 그 원인을 분석하고, 그 결과를 근거로 하여 엄밀한 연역적 정당화 학습의 개선 방안을 제시하시오. 그리고 중학교 기하 영역에서 위의 학습과 관련하여 유의할 사항을 2015 개정 수학과 교육과정에 따른 수학과 교육과정에 근거하여 1가지 쓰시오,[3점] 수학교육 (4면 중 4 면) 목원대학교 수학교육과

2023학년도 목원대학교 수학교육과 3차(11월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼4】

1. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``````2&`-5&``````1#-1&````````3&``````0#``````0&````````1&``````1}}]에 대해 선형사상 [eqn: T`:`VecR ^{3} ` rarrow `VecR ^{3} `]을

[eqn: T`(X)=AX``]로 정의할 때, im[eqn: (T)`]의 차원을 구하시오.[2점]

2. 방정식 [eqn: 3x ^{2} +10 == 0(mod``22)`]의 해의 개수를 구하시오. [2점]

3. 군준동형사상 [eqn: f: VecZ _{12} TIMES VecZ _{6} `` rarrow `` VecZ _{12}]를 [eqn: f(x,y)=9x]으로 정의하자. [eqn: K=ker(f)]일 때 [eqn: VecZ_{12} TIMES VecZ_{6} ``/K] 의 위수를 구하시오. [2점]

4. 잉여군 [eqn: ( VecZ _{6} TIMES VecZ _{8} )/<(3,2)>]의 원소 [eqn: (5,2)+<(3,2)>]의 위수를 구하시오. [2점]

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. 이차형식 [eqn: 3x ^{2} +2xy+3y ^{2} `]에 대하여

[eqn: X=ax+by,~Y=cx+dy`]

으로 치환하면

[eqn: 3x ^{2} +2xy+3y ^{2} = lambda _{1} X ^{2} + lambda _{2} Y ^{2} `]

으로 표현된다. 실수 [eqn: a,~b,~c,~d,~ lambda _{1} ,~ lambda _{2} `]를 구하시오. [4점]

2. 방정식 [eqn: x ^{2} -x+2 == 0`(mod`15)]의 해를 모두 구하시오. [4점]

3. 환준동형사상  [eqn: phi : VecZ _{~} rarrow `VecZ _{n}]이

[eqn: phi (k)=k~(`mod`n),` ^{FORALL } k IN VecZ]

로 정의될 때 [eqn: phi]의 핵(kernel) [eqn: N`]을 구하고, 잉여환 [eqn: VecZ / N`]이 체가 되도록하는 [eqn: n`]의 조건을 구하시오. [4점]

4. 환준동형사상 [eqn: psi `:`VecQ[x]` rarrow `VecR,~][eqn: psi (f(x))=f( sqrt {5} )]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [5점]

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

(1) [eqn: ker( psi )`]를 구하시오. [2점]

(2) [eqn: im( psi )]는 체가 됨을 보이시오. [3점]

2023학년도 목원대학교 수학교육과 3차(11월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
3차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. 함수 [eqn: f(x`,``y)={x}over{root{x^2 +y^2}}]에 대하여 다음 적분의 값을 구하시오.

[eqn: int _{{1}over{sqrt {2}}}^{1}{`int _{sqrt {1-y^{2}}}^{y}{``f(x`,``y)}`dx`}dy][eqn: +int_1^root{2}{int_0^root{2-y^2}{`f(x`,``y)}`dx`}dy] [2점]

2. 구간 [eqn: LEFT ( -{pi } over {2} ,`` {pi } over {2} RIGHT )]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=tan x]의 역함수를 [eqn: g: VecR` rarrow `LEFT ( -{pi } over {2} ,`` {pi } over {2} RIGHT )]라 하자. [eqn: g'left(root3right)]의 값과 [eqn: int_0^inf {g(x) over 1+x^2}`dx]의 값을 순서대로 쓰시오. [2점]

서술형 【1∼5】

1. 복소수 [eqn: z=x+iy```(x,`y는```실수)]에 대한 함수

[eqn: f(z)=e^-4y cos`(4x)+3x^2 -3y^2 +i`v(x,``y)]

가 정함수(entire function)일 때, [eqn: f` '' left(pi over4right)`]의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: v(x,``y)~]는 실숫값 함수이다.) [4점]

2. 구간 [eqn: I`]에서 도함수가 유계인 함수 [eqn: f]에 대하여, 상수 [eqn: C`]가 존재하여 모든 [eqn: x,`y`in I`]에 대하여 부등식

[eqn: left|f(x)-f(y)right|`le C``|`x-y`|]

가 성립함을 보이시오. [4점]

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. 연속함수 [eqn: f:[`0,`1]`->[`0,`1]]가 [eqn: (`0,`1)]에서 미분가능하면 [eqn: f`'(a)le1]인 [eqn: a]가 [eqn: 0]과 [eqn: 1] 사이에 존재함을 보이시오. [4점] 4. 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f_{n}:VecR `->` VecR]를 [eqn: f _{n} (x)= {8(sinx)^2n-1 cosx}over{1+(sinx)^2n}] 로 정의하자. 함수항급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } f_n (x)]가 닫힌구간 [eqn: left[`0`,```pi over2 right]]에서 균등수렴(평등수렴, 고른수렴, uniform convergence)하는지를 판별하고 그 이유를 쓰시오. [5점]	5. 복소평면에서 중심이 [eqn: i`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 [eqn: C``]에 대하여 선적분 [eqn: int _{``C} ^{} {``{e ^{-iz}} over {(z+5i)(z-2i)} `} `dz`] 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

2023학년도 목원대학교 수학교육과 3차(11월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오. ◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다. 1. 꼭짓점의 개수가 [eqn: 30]인 단순평면그래프(simple planar graph)를 변(edge)이 교차하지 않게 평면에 그렸을 때, 하나의 면(face)만 사각형이고 나머지 면은 모두 삼각형일 때, 변의 개수를 구하시오. (단, 여기서 삼각형(사각형)이라함은 [eqn: 3(4)]개의 변으로 둘러싸인 면을 의미하고, 외부영역(unbounded region)도 면으로 간주한다.) [서술형, 4점] 2. 자연수집합 [eqn: VecN]에 대하여 [eqn: X= VecN CUP \{0 \}]이라 하자. [eqn: X]의 위상 [eqn: IMAG]를 [eqn: IMAG =P( VecN ) CUP rm LEFT { G SUBSETEQ X`` vert ``0 IN G,` VecN -G는```유한집합 RIGHT } rm] 으로 정의할 때, 위상공간 [eqn: (X, IMAG)]에 대해 다음 물음에 답하시오.(단, [eqn: P`(VecN)`]은 [eqn: VecN``]의 멱집합이다.) (1) 집합 [eqn: A= LEFT { 2n` vert ``n IN VecN` RIGHT }]의 폐포를 구하시오. [3점] (2) 점렬 [eqn: <n ^{2} >`]이 수렴하는지 판별하시오. [3점]	3. 두 확률변수 [eqn: X`]와 [eqn: Y`]의 결합확률밀도함수(joint probability density function) [eqn: f(`x`,``y)]를 [eqn: f(`x,``y)= {cases{``e^-(x+y)&,~&x ge0,``y ge0#``0&,&그``외의``경우}}] 라 하고 확률변수 [eqn: Z`]를 [eqn: Z=X+Y`]라 하자. [eqn: Z`]의 누적분포함수(cumulative distribution function) [eqn: G(z)]라 할 때, 함숫값 [eqn: G(1)]을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 3점] 4. 그림과 같은 정삼각형 내부에 있는 임의의 점 [eqn: P]에서 각 변까지의 거리를 각각 [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: x_3]라 하자. 이 때, [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: x_3]가 삼각형의 세 변의 길이가 될 확률을 구하시오. [서술형, 4점] 위상•미기•이산•확통 (2면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오. ◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다. 5. [eqn: ℝ^3]의 곡선 [eqn: {bold alpha } `: [0 , 2 pi ] ` -> `ℝ^3], [eqn: {bold alpha }(t) = left( t cos t `,` t sin t `,` t )]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [4점] 5-1. 곡선의 호길이를 구하시오. [2점] 5-2. 점 [eqn: bold{ alpha} left( pi over 2 right)]에서 [eqn: bold{ alpha}]의 곡률과 비틀림률을 구하시오. [2점]	6. 3차원 유클리드 공간 [eqn: ℝ^3 `]에서 두 곡면 [eqn: M`,~N]을 [eqn: M `=` left{ (x,y,z) in ℝ^3 `vert`` x^2 - y^2 -z = 0 right}], [eqn: N `=` left{ (x,y,z) in ℝ^3 `vert`` x+ y+z = 1 right}] 이라 하고, 곡선 [eqn: gamma `]를 [eqn: M``]과 [eqn: N `]의 교선이라 하자. 곡면 [eqn: M `]에 놓인 곡선으로서 [eqn: gamma `]의 점 [eqn: p = left( 1 over 2 `,` ` 1 over 2 `,`` 0 right)]에서의 측지곡률(geodesic curvature)과 법곡률(normal curvature)을 풀이과정과 함께 쓰시오. [4점]