2024학년도 목원대학교 수학교육과 추가(6월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

◦ 밑줄 있는 번호는 3학년이 풀 수 있는 문제

입니다.

기입형 【1∼4】

1. 실수체 [eqn: VecR] 위의 3차원공간 [eqn: VecR^3]에서의 선형사상

[eqn: T : VecR^3 ``->`` VecR^3 ,`` T(x,y,z) = ( x-y+2z,`` y+z ,`` x+2z)]

의 역함수 [eqn: T```^-1]을 구하시오. [2점]

2. 2는 27의 원시근이다. 이 때, 합동식

[eqn: x^21 == -8 (mod```27)]

의 해를 구하시오. [2점]

3. 군 [eqn: G= VecZ _{24} TIMES VecZ _{18}]의 원소 [eqn: (4,6)]에 의해 생성된 부분군을 [eqn: H]라 하자. 잉여군 [eqn: G/H]의 원소 [eqn: (5,3)+H]의 위수를 구하시오.[2점]

4. 유리수체 위의 다항식 [eqn: f(x)= x^4 - 8 x^2 +15 in VecQ[x]]의 분해체 [eqn: E]에 대하여 [eqn: E`=VecQ`( alpha )`]가 되는 [eqn: alpha]를 구하시오.[2점]

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. 3차 행렬 [eqn: A = pmatrix{2&2&3 #0&3&2#0&3&4 }]의 고윳값을 구하고, 역행렬 [eqn: A^-1]을 행렬 [eqn: A`]에 관한 다항식 형태로 표현하시오. [4점]

2. 합동식 [eqn: 5x ^{2} -6x +2== 0``(mod``26)]의 해를 모두 구하시오. [4점]

3. 가우스 정수환 [eqn: VecZ[i] = \{ it a + bi : a,`b` in VecZ \}]는 유클리드노름 [eqn: N`]이 [eqn: N(a+bi )= a^2 +b^2]으로 주어진 유클리드 정역(ED)이고, [eqn: VecZ[i]]의 모든 단원(unit)은 [eqn: \{ it 1 , `-1 ,`` i, `` -i \}]다. 이 때, 다음 물음에 답하시오. [4점]

(1) 잉여환 [eqn: VecZ[i]/<3>]은 체임을 증명하시오. [2점]

(2) 유클리드 노름이 4인 원소 [eqn: a+bi in VecZ[i]]에 대하여 [eqn: a+bi+<3>]는 [eqn: VecZ[i]/<3>]에서

[eqn: \{ it 1+<3> , `-1+<3> ,`` i+<3>, `` -i+<3> \}]중에 하나와 같음을 보이시오. [2점]

4. 체 [eqn: VecZ_3`] 위의 다항식 [eqn: f(x)= x^4 +1 in VecZ_3 [x]]의 분해체를 [eqn: K``]라 할 때 다음 물음에 답하라. [5점]

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

(1) [eqn: f(x)]를 [eqn: VecZ_3`] 위의 기약다항식의 곱으로 인수분해하시

오. [2점]

(2) [eqn: [K:VecZ_3 ]=2]임을 보이시오.[3점]

2024학년도 목원대학교 수학교육과 추가(6월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

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기입형 【1∼2】

1. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f _{n} `:`[0,inf) `rarrow` VecR `]이

[eqn: f_n (x)= x over 1+e^nx` +sum_k=0^n-1{`x^k`left(e^-kx -e^-(k+1)x right)}]

일 때, 함수열 [eqn: lbrace f_{n} rbrace]의 점별극한함수 [eqn: f]를 구하시오. [2점]

2. 좌표공간의 영역 [eqn: Omega]를

[eqn: Omega= LEFT{`(x`,``y`,``z)`LEFT|`x^{2}+y^{2} LEQ (1+z)^{2}`,```0le z le1 ` RIGHT}RIGHT.]

이라 할 때, 삼중적분 [eqn: tint _{Omega}{`z`x`} dV]의 값을 구하시오. [2점]

서술형 【1∼5】

1. 복소평면에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 [eqn: C``]에 대하여 적분

[eqn: int_C{`{z^3 (1-3z)}over{(1+z)(1+2z^4 )}`}dz`]

의 값을 구하시오.

※ 다음 정리는 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다. [4점]

함수 [eqn: f(z)]는 양의 방향의 단순닫힌곡선(simple closed curve) [eqn: gamma]의 내부에 속한 유한개의 특이점을 빼고 복소평면의 어디서나 해석적일 때, 다음이 성립한다.

[eqn: int_gamma {`f(z)}`}dz`=2pi i`rmRes it_{z=0}leftlbrace 1over z^2 f`left(1over z right) rightrbrace]

2. 실수 [eqn: a`]와 두 실계수 다항함수 [eqn: g,``h`:`VecR`rarrow`VecR`]에 대하여

[eqn: g(a)=h(a)]이고 [eqn: g'(a)=h'(a)]일 때, 함수 [eqn: f`:`VecR`rarrow`VecR`]를

[eqn: f`(x)= cases{`g`(x)`,&x<`a #`h(x)`,~& x ge a}]

로 정의하면, [eqn: f'(a)=g'(a)]임을 보이시오. [4점]

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. 구간 [eqn: LEFT [pi`,`` {3 pi } over {2} RIGHT )]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=tan x]의 역함수를 [eqn: g: [`0,inf)` rarrow `LEFT [pi`,`` {3 pi } over {2} RIGHT )]라 하자. 특이적분 [eqn: int_1^inf {g(x) over 1+x^2}`dx]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점] 4. 실수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: g(t)= 1overpi dint _{D} ^{} {(x^2 +y^2 +1)^t `} dxdy] 라 할 때, 함숫값 [eqn: g(-1)`]을 구하고 두 극한값 [eqn: lim_{t`->`-1}{``g(t)}`], [eqn: lim_{t`->`0}{``g(t)^{1overt}}`]을 각각 구하시오. (단, [eqn: D`= LEFT { `(x,`y)` IN `` VecR ^{2} `` LEFT : ``x ^{2} +y^2 le1` RIGHT } RIGHT .]이다.) [5점]	5. 복소평면에서 중심이 [eqn: i`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 [eqn: C``]에 대하여 선적분 [eqn: int _{``C} ^{} {`` LEFT { `` {3e ^{-iz}} over {(z+6i)(z-2i)} `- {bar{z}} RIGHT }} `dz`] 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

2024학년도 목원대학교 수학교육과 추가(6월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오. ◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다. 1. [eqn: A,`B,`C,`D] 네 종류의 과자가 각각 [eqn: 11]개씩 있다. 이 중에서 [eqn: A] 과자를 [eqn: 2]개 이하만 포함하도록 과자 [eqn: 11]개를 택하는 경우의 수를 구하시오. [서술형, 4점] 2. 실수집합 [eqn: VecR]상의 보통위상을 [eqn: U``]라 하자. 유리수집합 [eqn: VecQ`]에서 정의된 함수 [eqn: f`: VecQ ` rarrow `( VecR ,`U) `]를 [eqn: f(x)= vert x vert `]로 정의하고 [eqn: VecQ`]상의 위상 [eqn: IMAG]를 [eqn: IMAG = LEFT { f ^{-1} (G)` vert `G IN U` RIGHT } `]로 정의하자. 위상공간 [eqn: (VecQ`,` IMAG `)`]에서 다음 물음에 답하시오. (1) 정수집합 [eqn: VecZ``]의 도집합을 구하시오.[3점] (2) 점렬 [eqn: <a _{n} >]이 수렴한다면 수렴점의 개수는 1 아니면 2임을 보이시오.[3점]	3. 두 베르누이분포 [eqn: rmBer it(p_1 ),``rmBer it(p_2 )]를 각각 독립적으로 따르는 두 모집단 [eqn: X`,``Y`]가 있다. [eqn: X`,``Y`]에서 크기 [eqn: 400,``210`]인 표본을 각각 추출하여 표본평균 [eqn: 0.7,``0.8`]을 각각 얻었을 때, 모평균 [eqn: p_1,``p_2`]의 평균 [eqn: {p_1 +p_2 }over 2]에 대한 [eqn: 95%] 신뢰구간은 [eqn: (a-1.96times b,``a+1.96times b``)]이다. [eqn: a,``b]의 값을 각각 구하시오. (단, 확률변수 [eqn: Z`]가 [eqn: N`(`0,``1)]을 따를 때, [eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ 1.96)=][eqn: 0.475]로 계산한다.) [서술형, 4점] 4. 두 연속확률변수 [eqn: X`,``Y`]는 서로 독립이고 각각 구간 [eqn: (0,``3)`]에서 균등분포(uniform distribution)를 따른다. 확률변수 [eqn: Z=X+Y`]의 누적분포함수(cumulative distribution function) [eqn: F_Z`(z)`]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 3점] 위상•미기•이산•확통 (2면 중 1 면) 목원대학교 수학교육과

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◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

5. 3차원 유클리드 공간 [eqn: VecR ^{3}]에 놓인 곡면 [eqn: M ``]위의 점 [eqn: p]에서 다음이 성립한다.

(ㄱ) 가우스곡률 [eqn: K(p) = -1]이고 평균곡률 [eqn: H(p) `=` 0]이다.

(ㄴ) 점 [eqn: p]에서의 단위접벡터 [eqn: bold{rm u }]는 점 [eqn: p`]에서의

주요벡터이다.

(ㄷ) 점 [eqn: p]에서의 단위접벡터 [eqn: bold{rm v }]가 [eqn: bold{rm u }]와 이루는 각은

[eqn: {pi } over {3}]이다.

곡면 [eqn: M ``]의 점 [eqn: p`]에서 [eqn: bold{rm v }]방향의 법곡률 [eqn: k_n (bold{rm v } )]을 구하시오.

[기입형, 2점]

답

6.  3차원 유클리드 공간 [eqn: VecR ^{3}]에서 곡선 [eqn: boldalpha]를 두 곡면

[eqn: M _{1} = LEFT { LEFT ( x,`y,`z RIGHT ) IN VecR ^{3} `vert `z^2 `=` x ^{2} +y ^{2}`,``z>0 RIGHT } ,# M _{2} = LEFT { LEFT ( x,`y,`z RIGHT ) IN VecR ^{3} `vert `x+y+z = 2 RIGHT }]

의 교선을 [eqn: {bold{alpha }}]라 하자. 곡면 [eqn: M_1]위에 곡선으로서 [eqn: {bold{alpha }}]의 점[eqn: p`=`LEFT ( 1,`0,` 1} RIGHT )]에서의 측지곡률을 [eqn: kappa _{g} (p)]이라 할 때, [eqn: LEFT | kappa _{g}RIGHT |]의 값을 구하시오. (2점)

7. 곡선 [eqn: y `=`cosh `x`]을 [eqn: x]축을 회전축으로 360도 회전시켜 얻은 회전체를 M이라고 하자. M이 최소곡면임을 보이시오.(4점)