2024학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(수학교육 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1】

(1) 수학과의 영역은 초⋅중학교에서 다루는 수학적 대상과 기본적인 개념을 드러내는 ‘수와 연산’, (            ), (              ), (               )으로 구성하였다.

(2) 다음과 같은 교수⋅학습 방법을 통해 추론 역량을 함양하게 한다.

㉠ (관찰, 실험, 측정) 등 구체적 조작 활동을 통해 수학의 개념, 원리, 법칙에 흥미와 관심을 갖고 다양한 방법으로 탐구하고 이해하게 한다.

㉡ 귀납, 유추 등의 개연적 추론을 통해 수학적 추측을 제기하고 정당화하며, 수학적 증거와 논리적 근거를 바탕으로 비판적으로 사고하는 태도를 갖게 한다.

㉢ 수학의 개념, 원리, 법칙을 도출하는 과정과 수학적 절차를 논리적이고 체계적으로 수행하고 반성하게 한다.

(3) 다음은 <공통수학 1>의 내용체계표 중 일부이다.

구분 범주		<공통수학 1>
		내용 요소
지식⋅이해	다항식	⋅다항식의 연산 ⋅나머지정리 ⋅인수분해
	방정식과 부등식	⋅복소수와 이차방정식 ⋅이차방정식과 이차함수 ⋅여러 가지 방정식과 부등식
	경우의 수	⋅합의 법칙과 곱의 법칙 ⋅( )
	( )	⋅(행렬과 그 연산)

1. 다음은 2022 개정 수학과 교육과정에 대한 내용이다. 괄호와 밑줄에 그은 곳에 알맞게 쓰시오.[4점]

서술형 【2∼7】

2. 다음은 무한수열의 수렴에 관한 수업에 앞서 최 교사가 교과서와 교사용지도서를 분석하면서 기록한 내용이다.

① 교과서에서는 직관적이고 자연스러운 사고에 따라 무한수열의 수렴을 정의한다.

② 지난 해에 ①과 같이 정의를 배운 학생 중에는

‘[eqn: 1,1,1,1, CDOTS]’과 같은 상수수열이 수렴하지 않는다는

오개념을 가진 경우가 있었다.

③바이어슈트라스(Weierstrass)는 엄밀하지만 자연스러운

사고에 역행하는 방식으로 무한수열의 수렴을 정의하였다.

①과 ③에서의 ‘무한수열의 수렴의 정의’를 각각 제시하고, 이를 토대로 최 교사가 ③에서 ‘자연스러운 사고에 역행한다’고 판단하는 근거를 쓰시오. 또한 ②에 제시된 오개념의 원인을 ①과 관련하여 구체적으로 쓰시오.[4점]

수학교육 (4면 중 1 면)                     목원대학교 수학교육과

3. 다음은 어느 예비교사가 수학 교육론 강의 시간에 분석법을 이용하여 직각의 삼등분선의 작도 문제를 해결한 과정이다.

위 과정에서 수학적 발견술인 분석법이 어떻게 적용되었는지 그 근거와 함께 서술하시오. 그리고 작도 문제 해결 교육에서 분석법을 이용하는 의의를 스켐프(R. Skemp)가 제시한 도구적 이해와 관계적 이해의 관점에서 각각 설명하시오.

[4점]

4. 최 교사는 ‘기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는 서로 평행하거나 일치한다’는 학습 내용을 지도하려고 한다. 다음은 최 교사가 수업에 사용하기 위해 만든 학습 자료와 그 학습 자료를 활용한 학습 활동과 평가에 대한 계획이다.

관찰 평가 도구

관찰 항목		이름
		S1	S2	…
정보처리	(가)
	학생이 주도적으로 공학 도구를 활용하여 탐구하였다.

딘즈 (Z. P. Dienes)가 제시하는 수학적 다양성의 원리에 대한 관점에서 최 교사의 수업 계획을 평가하시오. 2022 개정 수학과 교육과정의 ‘교수․학습 방법’에서 정보처리 역량 함양을 위해 강조한 사항을 근거로 위 수업과 관련된 사항을 (가)에 쓰시오,[3점]

5. <자료 1>은 절대부등식을 증명하는 수업 과정에서 학생이 새로운 추측을 제기하는 상황이다. <자료 1>에서 학생이 사용한 추론 유형과 이 추론에 근거하여 보완해야 할 점을 제시하시오. 라카토스의 관점에서 본 증명의 의미와 그 의미를 근거로 하여 교사의 활동 1□가지를 제시하시오.[4점]	6. 신교사는 <수열의 수렴과 발산>을 지도한 후 아래와 같이 ‘진동하는 수열’에 대한 탐구주제로 수업을 하였다. <주제: 진동하는 수열> 교사: 진동하는 수열에 대한 여러분의 생각을 발표하도록 하죠. 학생 1: 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀝니다. 학생 2: 진동하는 수열의 각 항의 값은 항상 교대로 반복합니다. 학생 3: 양수와 음수가 교대로 반복되어 나타나면 항상 진동하는 수열입니다. 학생 1: [eqn: (-1) ^{n}]과 같은 수열은 –1, 1, -1, 1, -1, … 이므로 진동하고 있어요. 그러니까 진동하는 수열의 각 항의 부호는 항상 교대로 바뀌는 것이 맞습니다. 학생 2: 그럼 내 생각대로 진동하는 수열의 각 항의 값도 –1, 1, -1, 1 과 같이 항상 교대로 반복하는 것이 옳을까요? <중략> 교사: 토론을 통해서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 n이 한없이 커짐에 따라 일반항 [eqn: a _{n}]의 값이 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 수열은 진동한다고 합니다. 지금 여러분이 발견한 내용을 정리하면 진동하는 수열이라고 해서 항상 각 항의 부호가 바뀌는 것은 아니고, 항상 일정한 값이 반복되어 나타나는 것도 아닙니다. 또 양수와 음수가 반복되어 나타난다고 해서 항상 진동하는 수열이라고 할 수 없어요. 위의 수업에서 사회적 구성주의의 지식의 구성 과정에 따라 <중략> 부분에서 학생들의 지식을 재구성하는 과정을 쓰시오.[3점] 수학교육 (4면 중 3 면) 목원대학교 수학교육과

7. 다음은 이교사가 피타고라스 정리를 지도하기 위한 계획이다. <1단계> 학습할 주제를 학생들에게 소개한다. <2단계> 직각 삼각형을 만들고 이 삼각형의 밑변, 높이, 빗변을 한 변으로 갖는 각각의 정사각형 넓이를 구한다.(단, 밑변의 길이와 높이는 양의 정수) <3단계> 다른 직각삼각형을 몇 개 더 만들어 보고 각각의 삼각형에 <2단계>를 실시하여 결과를 모두 다음과 같이 표에 기록한다. <4단계> 표를 보고 정사각형 넓이 사이의 규칙성을 알아본다. <5단계> 직각삼각형의 밑변의 길이, 높이, 빗변의 길이를 각각 [eqn: a,b,c]라 하고 그 각각의 변을 한 변으로 갖는 정사각형 넓이 사이의 규칙성을 식으로 표현한다. 반 힐레(P. M. van Hiele)의 교수․학습 단계의 관점에서 <2단계>부터 <3단계>에 해당되는 단계가 무엇인지 쓰고, 그 단계의 특징을 계획의 내용과 관련지어 쓰시오..[3점]	수학교육 (4면 중 4 면) 목원대학교 수학교육과

2024학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

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◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼4】

1. 2차 정사각행렬 [eqn: A= pmatrix{1&2#4&3 }]을 대각화하는 행렬 [eqn: P`]를 정수 성분으로 구하시오. [2점]

2. 법 [eqn: 27]의 모든 원시근을 구하시오(모두 지수표현으로 구할 것). [2점]

3. 군 [eqn: VecZ_15 times VecZ_18 times VecZ_36]의 원소 [eqn: (6,6,6)]의 위수를 구하시오.[2점]

4. 유리수환 [eqn: VecQ`]상의 다항식환 [eqn: R=VecQ[x]]와 복소수환 [eqn: VecC`]에 대하여 함수

[eqn: phi:R``` rarrow```VecC,`````phi(f(x)):=f(sqrt {3}i)]

은 환준동형사상이다. 이 때 [eqn: I=ker(phi)]를 [eqn: R`]의 아이디얼로 나타내시오.[2점]

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. 실수체 ℝ상의 벡터공간 [eqn: ℝ^2`]위에서 선형사상 [eqn: T:ℝ^2 ``-> `ℝ^2`]이 [eqn: T(x,y)=(-y , `-2x+y)]로 주어질 때, [eqn: T`]의 고유값과 그에 대응하는 고유공간을 구하시오. [4점]

2. 법 29에 대한 원시근은 2이다. 이 때, 합동식 [eqn: x^6 == -1``( \mod ``29)]의 모든 해를 [eqn: 2^a ( \mod ```29)]형태로 풀이 과정과 함께 구하시오. [4점]

3. 정수환 [eqn: VecZ]에서 소수 [eqn: p]에 대하여 아이디얼 [eqn: p VecZ]는 극대아이디얼임을 증명하시오. [4점]

4. 유리수체 [eqn: VecQ] 위의 다항식 [eqn: f(x) = x^3 +2 x +2]의 한 근을 [eqn: theta]라 할 때 다음 물음에 답하시오.[5점]

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

(1) [eqn: VecQ]의 대수적 확대체 [eqn: VecQ(theta)]를 집합으로 나타내시오. [2점]

(2) [eqn: theta]가 실근일 때, [eqn: VecQ]를 고정하는 자기동형군 [eqn: G(VecQ(theta)/VecQ)]의 위수를 구하시오. [3점]

2024학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1.  [eqn: 0le t le1]일 때, 좌표평면의 영역

[eqn: D`(`t)=left{(x,``y)`left|`x ge0,```y ge0,```x^2 +y^2 le1,```x+y ge t`right}right.`]와 함수 [eqn: f(x,`y)=root{left|4x^2 +4y^2 -1right|}`]에 대하여 [eqn: g(`t)=dint_D(t){f(x,`y)`}dxdy`]라 하자. [eqn: g(0)]의 값을 구하시오. [2점]

2. 수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_n =int_0^1{(1+x^2 )^n dx]일 때,

[eqn: sum_{n=1}^inf 1over{(2n+3)a_n+1 -(2n+2)a_n}]의 값을 구하시오. [2점]

서술형 【1∼5】

1. 복소평면에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 [eqn: C``]에 대하여 부등식 [eqn: left|int_{``C}{```e^z} ``d`bar{z}`right|`le2`e`pi`]가 성립함을 보이시오. (단, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

2. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f _{n} `:`[0,inf) `rarrow` VecR `]이

[eqn: f_n (x)= x over 1+e^nx` +sum_k=0^inf{`x^k`left(e^-kx -e^-(k+1)x right)}]

일 때, 함수열 [eqn: lbrace f_{n} rbrace]이 [eqn: [0,`inf)]에서 고른수렴(평등수렴, 균등수렴, uniform convergence)함을 보이시오. [4점]

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. 구간 [eqn: LEFT ( {pi } over {2} ,`` {3 pi } over {2} RIGHT )]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=sin x]의 역함수를 [eqn: g: (-1,``1)` rarrow `LEFT ( {pi } over {2} ,`` {3 pi } over {2} RIGHT )]라 하자. [eqn: lim_{n->inf}{`3n left{g left(1over2right)-g left(1+ 4overn right)}right}] 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 [eqn: int_0^{1over2}{g(x) over root{1-x^2}}`dx]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

4. 열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_1 = 2over3 ,``(2n+3)a_n+1 =(2n+2)a_n ``][eqn: (n ge1)]을 만족시킬 때, [eqn: a_n`]을 구하고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: 1over{2root{2n+1}}left(2n over 2n+1right)^2n+1 le a_n le e^3over{2root{2n+1}}left(2n over 2n+1right)^2n+1]

임을 보이시오. [5점]

※ 다음 식은 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: n^{n+ 1over2}e^-n le n! le n^{n+ 1over2}e^1-n]

이다.

5. 실숫값을 갖는 두 함수 [eqn: u(x,`y)], [eqn: v(x,`y)]와 복소수

[eqn: z=x+iy``][eqn: (x,`y는```실수)]에 대하여 복소함수

[eqn: f(z)=u(x,`y)+iv(x,`y)]는 정함수(전해석함수, entire function)이다. [eqn: bar{f(barz )}]가 정함수임을 보이시오. (단, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

2024학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 수열 [eqn: lbrace a_n rbrace]이 [eqn: a_0 =0,~a_n =`1~(`n ge1)]를 만족시킬 때,[eqn: lbrace a_{n} rbrace]의 생성함수(generating function) [eqn: f(x)`]를 구하시오. 또한, 수열 [eqn: lbrace b_{n} rbrace]이 [eqn: 0<x<1]에서 [eqn: root{xf(x)}=sum_{n=0}^{`inf}b_n x^n]을 만족시킬 때, [eqn: b_6`]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점]

2. 자연수 집합 [eqn: VecN]과 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: A_n = \{ it k in VecN : k >= n \}]이라 하자. [eqn: \{it A_n : n in VecN \}]을 기저로

하는 [eqn: VecN]의 위상을 [eqn: TAU`]라 하고 [eqn: X = (VecN ,`` Tau)]라 하자. 함수 [eqn: f: VecR` ->` X`]를 [eqn: f(x) = |[x]| + 1`]로 정의하고 [eqn: VecR]의 위상 [eqn: Tau_1]을 [eqn: Tau_1 = \{it f^-1 (G) : G `in `Tau \}]이라 하자. 위상공간 [eqn: (VecR , `` Tau_1 )]에

대하여 다음 성질이 성립하는지 판별하고 그 이유를 서술하시오.(단, [eqn: [x]]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대 정수이다). [6점]

(1) [eqn: X`]는 연결공간이다.[2점]

(2) [eqn: (VecR ,` Tau_1 )]에서 수열 [eqn: left〈 {1} over {n} right〉]은 수렴하지 않는다.[2점]

(3) [eqn: (VecR ,` Tau_1 )]은 콤팩트(compact) 공간이다.[2점]

3. 연속확률변수 [eqn: X]의 누적분포함수(cumulative distribution function) [eqn: F(x)]가 연속인 단사함수(일대일함수, injection)라 하자. 확률변수 [eqn: F(X)]의 확률밀도함수(probability density function)를 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한, [eqn: rmP it left(1<e^F(X) <2right)]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점]

4. 포아송분포(Poisson distribution) [eqn: Poisson(5)]로부터의 확률표본(random sample) [eqn: X_1 ,`X_2 ,`cdots,`X_n]에 대하여 [eqn: bar{X``}]를 [eqn: bar{X``}= 1over n sum_i=1^n X_i]라 하자. [eqn: rmE it left(sum_i=1^n left(X_i -bar{X``}right)^2right)=140]일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오. [서술형, 3점]

※ 다음은 필요하면 사용할 수 있다.

확률변수 [eqn: X]가 [eqn: Poisson(lambda)]를 따르면

[eqn: rmE it left(e^tX`right)= e^{lambda(e^t -1)}``(-inf<t<inf)``]이다.

위상•미기•이산•확통 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

5. 3차원 유클리드 공간 [eqn: VecR ^{3}]에 놓인 유향곡면 [eqn: M ``]위의 점 [eqn: p]에서 다음이 성립한다.

(ㄱ) 가우스곡률 [eqn: K(p)]과 평균곡률 [eqn: H(p)]은 모두 1이다.

(ㄴ) 점 [eqn: p]에서의 단위접벡터 [eqn: bold{rm u }]는 점 [eqn: p`]에서의 주요벡터이다.

(ㄷ) 점 [eqn: p]에서의 단위접벡터 [eqn: bold{rm v }]가 [eqn: bold{rm u }]와 이루는 각은 [eqn: {pi } over {3}]이다.

곡면 [eqn: M ``]의 점 [eqn: p`]에서 주요곡률과 [eqn: bold{rm v }]방향의 법곡률 [eqn: k_n (bold{rm v } )]의 절댓값을 구하시오.[기입형,3점]

6. 3차원 유클리드 공간 [eqn: VecR ^{3}]에서 곡선 [eqn: boldalpha]를 두 곡면

[eqn: M _{1} = LEFT { LEFT ( x,`y,`z RIGHT ) IN VecR ^{3} `vert x ^{2} +y ^{2}`=`1 RIGHT } ,# M _{2} = LEFT { LEFT ( x,`y,`z RIGHT ) IN VecR ^{3} `vert `y=z RIGHT }]

의 교선을 [eqn: {bold{alpha }}]라 하자. 곡면 [eqn: M_1]위에 곡선으로서 [eqn: {bold{alpha }}]의 점 [eqn: p`=`LEFT ( 1,`0,` 0 RIGHT )]에서의 곡률과 법곡률이 같음을 보이시오.

(2점)

7. 3차원 유클리드 공간 [eqn: VecR ^{3}]의 곡면 M이 이변수 함수 [eqn: z `=` f(x,y)]의 그래프로 다음을 만족한다.

(1) [eqn: M`]은 [eqn: z`]축을 회전축으로 하는 회전면이다.

(2) 모든 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: f(x,x) `=` x^2]이다.

점 [eqn: p`=`LEFT ( 0,`0,` 0 RIGHT ) `in ` M`]에서의 가우스곡률 [eqn: K( p ) `]를 구하시오.(3점)