2024학년도 목원대학교 수학교육과 3차(10월) 졸업시험
수 학(수학교육 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1】

1. 다음은 19세기말부터 100여 년 동안 이루어진 수학교육의 변천에 관한 자료를 순서 없이 제시한 것이다.

(가)∼(마)를 수학교육의 역사적 흐름에 따라 순서대로 배열하시오. [2점]

서술형 【2∼7】

2. 다음은 중학교 수학 <확률과 통계> 영역의 학습 활동지이다. 2022 개정 수학과 교육과정의 ‘성취기준 시 적용시 고려사항’을 어떻게 반영하고 있는지 기술하시오.

[2점]

수학교육 (4면 중 1 면)                     목원대학교 수학교육과

3. 다음 <자료 1>은 중학교 3학년 학생 A의 수학일기의 일부이고, <자료 2>는 <자료 1>에 대하여 교사들이 나눈 대화이다. 비고츠키(L. Vygotsky) 학파의 관점에서 <자료 1>의 ㉠을 설명할 수 있는 개념 용어를 쓰고, A가 알게 된 최빈값의 의미를 쓰시오. 그리고 <자료 1>의 ㉡, <자료 2>의 ㉢에 근거하여 사회적 구성주의와 차별화되는 급진적 구성주의의 원리를 설명하시오. [4점]	4. 다음 수업 상황을 보고 물음에 답하시오. 위의 수업 상황에서 밑줄친 부분에 대해 분석법을 적용하는 과정을 제시하고, 증명에서 분석법과 종합법을 함께 이용하는 활동의 수학교육적 의의를 1가지 쓰시오[4점]

5. 박교사는 고등학교 2학년 학생들의 미적분 수업시간에 평균변화율과 미분계수의 뜻을 지도하고 나서 미분계수의 기하학적 의미를 지도하기 전에 아래의 세가지 그래프를 제시하고 원점 P에서 접선을 그리라는 문제를 제시하였다.

아래의 내용은 위 문제를 해결하는 과정에서 교사와 학생의 대화의 일부분이다.

희수 : 각각 이렇게 그려질 수 있어요.

P

P

P

한 개의 접선                  무한히 많은 접선            두 개의 접선

교사 : 위와 같이 그린 이유를 설명해주세요

희수 :  원의 접선을 배울 때 접선은 한 점에서 만나거나

스치고 지나가야 해요. 처음

그래프에서는 한 점에서 스치고 지나가게 그린

것이고요. 두 번째 그래프에서는

한 점에서 무한히 많이 만날 수 있기 때문에 무한

히 많은 접선을 그렸어요. 세 번째 그래프에서는

한 점에서 스치고 지나가야 되기 때문에 두

개의 접선을 그렸어요.

교사 : 희수는 중학교 때 배운 개념을 이용해서 그랬군요.

-하략-

희수와 같은 접선 개념을 가지고 있을 때 겪게 되는 인식론적 장애를 브루소의 인식론적 장애 개념을 기반으로 분석하시오. 또한 라카토스의 증명관에 대해 서술하고 라카토스의 반례에 관점에서 희수를 지도할 수 있는 방안을 쓰시오.

[4점]

강 교수:지금까지 음수 지도를 형식적인 관점에서 접근하는 형식 불역의 원리를 설명했습니다. 그런데 프로이덴탈(H.Freudenthal)은 이를 ‘기하적․대수적 형식 불역의 원리’로 확장합니다. 여러분, 오른쪽과 같은 정수의 나눗셈을 어떻게 기하적인 방법으로 접근할 수 있을까요?

예비교사A: 잘 모르겠어요.

강 교수: 자,주어진 나눗셈 식에서 나누는 수는 얼마인가요?

예비교사A: 나누는 수는 2입니다.

강 교수: 그렇습니다. 그럼 이 연산을 함수로 이해해 봅시다. 나누어지는 수 [eqn: x]에 연산 결과 [eqn: y]를 대응시킨다고 할 때, [eqn: y]는 얼마인가요?

예비교사B: [eqn: x` DIVIDE `2,`]즉 [eqn: {x} over {2}]입니다.

강 교수: 네, 맞습니다. 그런데 음수의 연산을 아직 배우지 않은 학생들이 할 수 있는 나눗셈 식은 어디까지인가요?

예비교사A: [eqn: 0 DIVIDE 2=0]입니다.

강 교수: 맞아요.음수가 도입되기 전까지는 이 함수의 [eqn: x]의 범위가 [eqn: x GEQ 0]으로 제한됩니다. 그런데 [eqn: x]의 범위를 음수까지 확장하면 다음과 같이 함수 [eqn: y= {1} over {2} x]의 그래프가 변화하게 됩니다.

예비교사 B : 결국 [eqn: x<0]일 때 [eqn: x` DIVIDE `2,`]가 어떻게 정해져야 하는지를 알 수 있는 거네요.

강 교수 : 그렇습니다. 예를 들어, 주어진 그래프에서 [eqn: x]좌표가 -4일 때의 [eqn: y]좌표를 구하면 나눗셈 식 ( ㉠ )을/를 유도할 수 있습니다.

예비교사 A : ㉡ 이렇게 음수의 나눗셈을 기하적인 방법으로 해석하다니 정말 창의적인 것 같습니다.

강 교수 : 맞아요. 일차함수의 그래프를 배운 후에 음수의 연산을 새로운 관점에서 보는 자료로 활용하면 좋을 것 같습니다.

6. 다음은 강 교수가 예비교사를 대상으로 형식 불역의 원리를 다루는 수업의 일부이다.

괄호 안의 ㉠에 들어갈 나눗셈 식을 쓰고, ‘기하적․대수적

형식불역의 원리’의 의미를 위의 수업 장면과 관련지어

기하적 측면과 대수적 측면에서 설명하시오. 또한, 밑줄 친

㉡에서 가장 두드러지게 나타나는 수학 교과 역량의 명칭을

2022 개정 수학과 교육과정에 제시된 용어로 쓰시오. [4점]

수학교육 (4면 중 3 면)                     목원대학교 수학교육과

7. 다음에 제시된 수업 상황을 읽고 물음에 답하시오.

다은이는 다음 문제를 해결하려고 애쓰고 있다.

학교에서 집까지의 거리는 200m이고, 집에서 경찰서까지의 거리는 250m이다. 집에서 학교와 경찰서를 바라본 각의 크기가 60°일 때, 학교에서 경찰서까지의 거리를 구하여라.

잠시 후 교사가 다가와 다음과 같이 말하였다.

다은아, 제2코사인 법칙을 적용하면 되지 않을까?

다은이는 교사의 이러한 발문에 힘입어 문제를 쉽게 해결하였다.

폴리아(G . Polya)의 수학 문제해결 교육론의 관점에서, 교사가 다은이에게 한 발문이 바람직한 것인지 아닌지를 판단하고, 판단의 구체적인 이유를 교사의 발문과 관련하여 1가지 쓰시오. 그리고 교수학적 변환(didactic tran sposition )의 관점에서 위에 제시된 수업 상황에 대해 설명하시오[3점].

수학교육 (4면 중 4 면)                     목원대학교 수학교육과

2024학년도 목원대학교 수학교육과 3차(10월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
1차 시험	2교시 전공A	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼4】

1. 실수체 ℝ상의 벡터공간 [eqn: ℝ ^{2}]위에서 선형사상 [eqn: L`:VecR` ^{2} rarrow `VecR ^{2}]을 [eqn: L(x,y)=(y,x)]로 정의할 때 [eqn: L`]의 고윳값과 대응하는 고유벡터를 구하시오. [2점]

2. 합동방정식 [eqn: x ^{2} == 1`(mod`56)]의 해의 개수를 구하시오. [2점]

3. 잉여군 [eqn: VecZ _{10} TIMES VecZ _{18} /<(5,3)>]의 원소 [eqn: (6,8)+<(5,3)>]의 위수를 구하시오.[2점]

4. 잉여군 [eqn: VecZ _{4} TIMES VecZ _{6} /<(2,3)>]와 동형인 군을 구하시오.[2점]

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. 실수체 ℝ상의 표준내적공간 [eqn: ℝ ^{3} `]에서 두 벡터 [eqn: (1,1,0)]와 [eqn: (1,0,1)]로 생성되는 부분공간을 [eqn: W`]라 하자. 벡터 [eqn: (1,2,3)`]와 [eqn: W`]사이의 최단거리를 구하시오. [4점]

2. 합동방정식 [eqn: 5x ^{2} -4x-2 == 0`(mod`13)]의 해를 모두 구하시오. [4점]

3. 환 [eqn: R= LEFT { a+b sqrt {3} ` vert `a,b IN VecZ RIGHT }]와 [eqn: R`]의 아이디얼 [eqn: I`=<3>`]에 대해 잉여환 [eqn: R/I`]의 위수를 구하시오. [4점]

4. 유리수체 [eqn: VecQ] 위의 다항식 [eqn: f(x)=x ^{8} -1]에 대해 다음 물음에 답하시오.[5점]

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

(1) [eqn: f(x)`]의 분해체 [eqn: K`]를 구하시오.[2점]

(2) 갈로아군 [eqn: G(K/VecQ)]와 동형인 군을 구하시오.[3점]

2024학년도 목원대학교 수학교육과 3차(10월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. [eqn: 0le t le1]일 때, 좌표평면의 영역

[eqn: D`(`t)=left{(x,``y)`left|`x^2 +y^2 le1,```x+y ge t`right}right.`]와 함수 [eqn: f(x,`y)=root{left|4x^2 +4y^2 -1right|}`]에 대하여 [eqn: g(`t)=dint_D(t){f(x,`y)`}dxdy`]라 하자. [eqn: g(0)]의 값을 구하시오. [2점]

2. 수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_n =int_0^1{(2-x^2 )^n dx]일 때,

[eqn: sum_{n=1954}^2024 1over{(2n+3)a_n+1 -4(n+1)a_n}]의 값을 구하시오. [2점]

서술형 【1∼5】

1. 복소평면에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 [eqn: C``]에 대하여 부등식 [eqn: left|int_{``C}{```e^z} ``d`bar{z}`right|`le`4`pi`]가 성립함을 보이시오. (단, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

2. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f _{n} `:`[0,inf) `rarrow` VecR `]이

[eqn: f_n (x)= x over 1+e^nx` +sum_k=0^inf{`x^k`left(e^-kx -e^-(k+1)x right)}]

일 때, 함수열 [eqn: lbrace f_{n} rbrace]이 [eqn: [0,`inf)]에서 고른수렴(평등수렴, 균등수렴, uniform convergence)함을 보이시오. [4점]

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. 구간 [eqn: LEFT ( {pi } over {2} ,`` {3 pi } over {2} RIGHT )]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=sin x]의 역함수를 [eqn: g: (-1,``1)` rarrow `LEFT ( {pi } over {2} ,`` {3 pi } over {2} RIGHT )]라 하자.

[eqn: lim_{n->inf}{`3n left{g left(1over2right)-g left(1over2 + 4overn right)}right}]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. 또한 [eqn: int_0^{1overroot2}{g(x) over root{1-x^2}}`dx]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

4. 수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_1 = 2over3 ,``(2n+3)a_n+1 =(2n+2)a_n ``][eqn: (n ge1)]을 만족시킬 때, [eqn: a_n`]을 구하고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: 1over{2root{2n+1}}left(2n over 2n+1right)^2n+1 le a_n le e^3over{2root{2n+1}}left(2n over 2n+1right)^2n+1]

임을 보이시오. [5점]

※ 다음 식은 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: n^{n+ 1over2}e^-n le n! le n^{n+ 1over2}e^1-n]

이다.

해석영역 (2면 중 2 )                    목원대학교 수학교육과

5. 실숫값을 갖는 두 함수 [eqn: u(x,`y)], [eqn: v(x,`y)]와 복소수 [eqn: z=x+iy``][eqn: (x,`y는```실수)]에 대하여 복소함수 [eqn: f(z)=u(x,`y)+iv(x,`y)]는 정함수(전해석함수, entire function)일 때, [eqn: g(z)=u(`x,`-y)-iv(`x,`-y)]도 정함수임을 보이시오. (단, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

2024학년도 목원대학교 수학교육과 3차(10월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
1차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 다음 조건 ①, ②에 의해 정의된 그래프 [eqn: G`]의 변(edge)의 개수를 구하고, [eqn: G`]는 평면그래프(planar graph)가 아님을 보이시오. 그리고 그래프 [eqn: G`]의 채색수(chromatic number) [eqn: chi(G`)]를 풀이 과정과 함께 쓰시오.

① 그래프 [eqn: G`]의 꼭짓점의 집합은 여덟 개의 원소로 구성된 [eqn: lbrace v_a`|``2le a le 9 rbrace]이다.

② 두 꼭짓점 [eqn: v_{a}]와 [eqn: v_{b}]는 두 자연수 [eqn: a]와 [eqn: b]가 서로소일 때만 인접한다.

[서술형, 4점]

2. 실수 집합 [eqn: VecR] 상에서 집합 [eqn: beta = \{ [a,b)`|~a,b` IN ` VecR \}]을 기저로 하는 위상을 [eqn: IMAG]라 하고 [eqn: X=(VecR,IMAG)]라 하자. 또한 이산위상 [eqn: D``]와 자명한 위상 [eqn: I``]에 대해 [eqn: Y=( VecR ,D)], [eqn: Z=(VecR,I)]이라 하자. 이 때 집합 [eqn: A= LEFT { (x,y) IN VecR TIMES VecR``` vert ``x ^{2} +y ^{2} LEQ 1 RIGHT } `]에 대해 다음 물음에 답하시오.

(1) 적공간 [eqn: X TIMES Y]에서 [eqn: A]의 내부와 폐포를 구하시오.[3점]

(2) 적공간 [eqn: Y TIMES Z]에서 [eqn: A]의 내부와 폐포를 구하시오.[3점]

3. 두 확률변수 [eqn: X`]와 [eqn: Y`]의 결합확률밀도함수(joint probability density function) [eqn: f(`x`,``y)]를

[eqn: f(`x,``y)= {cases{``1_`,``&0<x<1,``0<y<1_`#``0^`,&그``외의``경우^`}}]

라 하고 확률변수 [eqn: Z`]를 [eqn: Z`=Y-X`]라 하자. [eqn: Z`]의 누적분포함수(cumulative distribution function) [eqn: G(z)]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점]

4. 확률변수 [eqn: X]의 평균과 분산이 각각 [eqn: 8,``16`]이다.

[eqn: X _{1}`,``X _{2}`,` CDOTS `,``X _{100}]이 모집단 [eqn: X]로부터 뽑힌 확률표본일 때, 이들의 평균 [eqn: {bar{X```}} `=` {1} over {100} sum_i=1^100 X_i]에 대하여 [eqn: bar{X```}]가 [eqn: 10]이상이 될 확률은 중심극한정리(central limit theorem)를 적용하면 근사적으로 [eqn: P`(Z GEQ c)]이다. 상수 [eqn: c]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: Z`]는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.) [서술형, 3점]

위상•미기•이산•확통 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

5.  3차원 유클리드 공간 [eqn: VecR ^{3}]에서 곡선 [eqn: boldalpha]를 두 곡면

[eqn: M _{1} = LEFT { LEFT ( x,`y,`z RIGHT ) IN VecR ^{3} `vert x ^{2} +y ^{2}`=`1 RIGHT } ,# M _{2} = LEFT { LEFT ( x,`y,`z RIGHT ) IN VecR ^{3} `vert `y=z RIGHT }]

의 교선을 [eqn: {bold{alpha }}]라 하자. 점 [eqn: p`=`LEFT ( 1,`0,` 0 RIGHT )]에서 [eqn: {bold{alpha }}]의 곡률반경을 구하시오. (2점)

6. 3차원 유클리드 공간 [eqn: VecR ^{3}]에 놓인 유향곡면 [eqn: M ``]위의 점 [eqn: p]에서 다음이 성립한다.

(ㄱ) 가우스곡률 [eqn: K(p)]은 -1이고, 평균곡률 [eqn: H(p)]은 0이다.

(ㄴ) 점 [eqn: p]에서의 벡터 [eqn: bold{rm U } `= (0`,`0`,`1)]은 [eqn: M``]의 단위법벡터이다.

(ㄷ) 점 [eqn: p]에서의 단위접벡터 [eqn: bold{rm u } `= (1,0,0)]는 점 [eqn: p`]에서의 주요벡터이다.

곡면 [eqn: M ``]의 점 [eqn: p`]에서 점근방향을 구하시오.(3점)

7. 3차원 유클리드 공간 [eqn: VecR ^{3}]의 곡면 M은 곡선 [eqn: bold{ alpha } (t) `=` ( t `,` t `,` t^2 ) `,~ 0<= t <= 1 `]을 [eqn: z`]축을 회전축으로 회전한 회전면이다. 점 [eqn: p`=`LEFT ( 0,`0,` 0 RIGHT ) `in ` M`]에서의 가우스곡률 [eqn: K( p ) `]를 구하시오.(3점)