2025학년도 목원대학교 수학교육과 1차(3월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
1차 시험	2교시 대수	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼4】

1. 실수 성분을 가지는 3차 정방행렬 [eqn: A`]의 고유다항식이 [eqn: P_A (x) = x^3 +a x^2 + b x +c]일 때 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고르시오. [2점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: A`]가 교대행렬이면 [eqn: a=0]이다. ㄴ. [eqn: A`]가 가역행렬이면 [eqn: |adj(A) ^{-1} |=c` ^{-2}]이다. ㄷ. [eqn: A`]가 가역행렬이면 [eqn: b not= 0`]이다.

2. 합동식 [eqn: x ^2 +15x == a`(mod``17)]의 해가 존재하는 정수 [eqn: a`]의 개수를 구하시오.(단, [eqn: 0 LEQ a LEQ 16])[2점]

3. 잉여군 [eqn: VecR/VecZ``]의 부분군 중에서 군 [eqn: VecZ`]와 동형인 부분군의 예를 하나만 제시하시오. [2점]

4. 유리수 체 [eqn: VecQ]위의 다항식 [eqn: x ^{4} -2]의 분해체(splitting field) [eqn: K`]에 대해 갈로아군 [eqn: G(K/VecQ)]의 원소 중 위수가 2인 것의 개수를 구하시오. [2점]

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. [eqn: n]차원 벡터공간 [eqn: V`]에서 정의된 선형사상 [eqn: T:V rarrow V`]에 대해 [eqn: T CIRC T=T`]이면 [eqn: rank(T)<n`]임을 보이시오.(단, [eqn: T` != I _{V`} `])[4점]

2. 체 [eqn: F``]의 유한확대체 [eqn: K``]에 대해 기약다항식 [eqn: p(x) in F``[x]]의 차수가 2이상이고 [eqn: [K:F``]]와 서로소이면 [eqn: p(x)]는 [eqn: K``]안에서 근이 없음을 보이시오.[4점]

3. 유한군 [eqn: G`]의 위수가 3보다 큰 짝수이면 [eqn: G`]는 단순군이 아님을 보이시오.[4점]<문제오류> (본출제의도 : [eqn: G`]가 단순군 인지를 판별하시오.)

4. 유리수체 [eqn: VecQ] 위의 기약다항식 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: VecQ] 위의 분해체를 [eqn: K`]라 할 때, 갈로아군 [eqn: G(K/VecQ)]가 아벨군이면 [eqn: [K:VecQ]=degf(x)]임을 보이시오.[5점]

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과