2025학년도 목원대학교 수학교육과 1차(3월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
1차 시험	3교시 해석	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. 좌표평면의 영역
[eqn: D`=`left{`(`x,``y)``|``-1le x`y le 1overx`,~1le x le2`right}]
의 넓이를 구하시오. [2점]

2. 실수 [eqn: p`]에 대하여 함수 [eqn: f:[`0`,``inf)`->`VecR`]이

[eqn: f(x)=cases{`x^{`p}`cos it {1} over {x} ,~~&x`in`[`0`,``inf)-VecQ#~~~``0,&x`in`[`0`,``inf)cap VecQ}]

이라고 하자. 함수 [eqn: f`]가 [eqn: x=0`]에서 연속이 되도록 하는 [eqn: p`]의 범위와 [eqn: x=0`]에서 미분가능하도록 하는 [eqn: p`]의 범위를 각각 구하시오. [2점]

서술형 【1∼5】

1. 확장 복소평면(extended complex plane) [eqn: VecC cup lbrace inf rbrace`]에서 정의된 일차분수변환(선형분수변환, linear fractional transformation, bilinear transformation) [eqn: T`]가

[eqn: T`(2)=1,~T`(i)=i,~T`(-2)=-1]

을 만족시킬 때, [eqn: {T`(1)-1}over{T`(1)+1}`]을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

2. 함수 [eqn: f:[`0`,``inf)`->`VecR`]이  [eqn: f(x)=cases{`1over x`cos 1over x ,~~&x>0#~~~``0,&x`=0}`]
이라고 하자.
자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: I_{`n} = left[ 1over{2n pi},``2over{(4n-1)pi}right]]일 때, [eqn: f(I_{`n})`]과 [eqn: cup_{n in VecN}``f(I_{`n})`]을 풀이과정과 함께 쓰시오. [4점]

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f _{n} `:`[0,inf) `rarrow` VecR `]이 [eqn: f_n (x)= cases{- x over {lbrace n ln(3n)rbrace^2 }` + 1over{n^2 ln(3n)} ,~&0le x le \ln it(3n) #~&~ #~~~~~1overn^2 sin left(2pix over ln(3n)right),&ln(3n)<x le2ln(3n) #~&~ #~~~~~~~~~~~~0,&x>2ln(3n)}] 일 때, 함수항 급수 [eqn: sum_{n=1}^inf f_{n}(x)]가 [eqn: [0,`inf)]에서 고른수렴(평등수렴, 균등수렴, uniform convergence)함을 보이시오. [4점] 4. 좌표평면의 영역 [eqn: D=left{`(x,``y)`left|`x ge0,`y ge0,``x^2 +y^2 le1`right}] 에 대하여 [eqn: dint_D{root{left|`7x^2 +7y^2 -1`right|}}dxdy] 의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [5점]	해석영역 (2면 중 2 면 ) 목원대학교 수학교육과 5. 복소수 [eqn: z=x+iy`]([eqn: x,``y`]는 실수)에 대한 함수 [eqn: f(z)=e^-x cosy+iv(x,``y)] (단, [eqn: v(x,``y)`]는 실숫값 함수) 가 정함수(전해석함수, entire function)이고 [eqn: f(0)=1+3i`]를 만족시킬 때, [eqn: f(z)]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]