2025학년도 목원대학교 수학교육과 추가(6월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
추가 시험	2교시 해석	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. 양수 [eqn: a]에 대하여, 좌표평면의 영역 [eqn: D(a)`]를

[eqn: D(a)`=`lbrace(x,``y)`in`VecR^2``|`-1le xy le1,``a le x le a+1rbrace]

이라 하고, 이 영역의 경계를 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선을 [eqn: C`(a)`]라고 하자. 영역 [eqn: D(a)`]의 넓이가 [eqn: 2`ln4`]일 때, [eqn: a]의 값과 선적분

[eqn: int _{C`(a)} ^{} {`(`xe ^{x} -2y)`dx`+`(`3x-4ye ^{y} )`dy} `]

의 값을 순서대로 구하시오. [2점]

2. 함수 [eqn: f:[`0`,``inf)`->`VecR`]이 [eqn: f(x)=cases{`x^{`5over4}`sin it {1over x} ,~&x`>0#~~~``0,&`x`=0}`]이라고 하자. [eqn: f`]의 도함수 [eqn: f`':[`0`,``inf)`->`VecR`]을 구하시오. [2점]

서술형 【1∼5】

1. 복소평면에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선 [eqn: C``]에 대하여 적분

[eqn: int_{``C}{``left(z+z^2 right) ``d bar{z}}`]

의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오. (단, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

2. 함수 [eqn: f:[`0`,``inf)`->`VecR`]이

[eqn: f(x)=cases{`1over x`sin 1over x ,~~&x>0#~~~``0,&x`=0}`]

이라고 하자. 임의의 양수 [eqn: L`]에 대하여 [eqn: f(x_0 )=L`]을 만족시키는 [eqn: x_0`]이 존재함을 증명하시오. [4점]

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f _{n} `:`[0,inf) `rarrow` VecR `]이 [eqn: f_n (x)= cases{``- x over {lbrace n ln(3n)rbrace^2 }` + 1over{n^2 ln(3n)} ,~&0le x le \ln it(3n) #~&~ #~~~~~```1overn^2 sin left(2pix over ln(3n)right),&ln(3n)<x le2ln(3n) #~&~ #~~~~~~~~~~~~0,&x>2ln(3n)}] 일 때, 함수항 급수 [eqn: sum_{n=1}^inf f_{n}(x)]가 [eqn: [0,`inf)]에서 고른수렴(평등수렴, 균등수렴, uniform convergence)함을 보이시오. [5점] 4. 함수 [eqn: f(x`,``y)= x^2over{left(root{x^2 +y^2}right)^3}`]에 대하여 다음 적분의 값을 구하시오. [eqn: int_0^{1overroot2}{`int_{root1-y^2}^{root4-y^2}{```f(x`,``y)}`dx`}dy][eqn: +int_{1overroot2}^root2{int_y^{root4-y^2}{`f(x`,``y)}`dx`}dy] [4점]	해석영역 (2면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과 5. 복소함수 [eqn: f(z)=z^4 -1`]에 대하여 [eqn: int_C{``{z`f`'(z)}over{f(z)}}`dz`]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. 여기서 [eqn: C``]는 복소평면에서 점 [eqn: left(1over2`,``0right)`]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: root2`]인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선이다. [4점]