2025학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(수학교육 영역)
1차 시험	1교시 수학교육	8문항 24점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1~2】

1. 다음은 라카토스(I. Lakatos)의 경험주의 수리철학에

대한 두 교사의 대화이다.

전면적 반례에 의해 추측이 비판되었을 때 대응하는 방식 ㉠과 ㉡을 라카토스가 제시한 용어로 순서대로 쓰시오. [2점]

2. 다음은 각기둥의 부피를 지도하는 과정에 대한 예비교

사의 수업 설계이다.

㉠ 새롭게 학습할 내용에 관한 ‘관련 정착 아이디어’가 될 수 있는 내용(각기둥과 각뿔, 겉넓이와 부피, 다면체와 회전체 등)들을 파악하여 선수지식의 유무를 파악하고 선행조직자를 준비한다.

㉡ 각기둥의 부피를 삼각기둥의 부피로 쪼개어 구할 수 있다는 점을 이해할 수 있도록 일상생활에서 다양한 예시를 제시하여 학생의 유의미한 학습이 촉지될 수 있도록 한다.

㉢ 각기둥을 삼각기둥으로 나누는 과정에서 가장 일반적이고 조건이 적은 사각기둥에서 시작하여 꼭짓점, 모서리, 면의 개수가 늘어난 오각기둥, 육각기둥 순으로 문제를 제시한다.

㉣ 삼각기둥의 부피를 구하는 것으로부터 각기둥의 부피를 구하는 방법이 (밑넓이)×(높이)임을 일반화하는 설명을 한다. 이 때, 삼각기둥의 부피와 각기둥의 부피를 구하는 방법은 밑넓이를 구하는 방법에 따라 차이가 있음을 명확하게 설명한다.

㉢과 ㉣에서 교사가 반영한 오스벨의 유의미한 수용학습을 위한 교수전략을 각각 쓰시오.[2점]

수학교육 (4면 중 1 면)                     목원대학교 수학교육과

서술형 【3∼8】

3. 다음은 폴리아(G. Polya)의 수학 문제해결 교육론에 근거해 어떤 문제를 해결하는 과정의 일부이다.

문제해결 과정에서는 수학 발견술인 분석법이 사용되고 있다. <계획 단계>와 <실행 단계>에서 분석법이 어떻게 사용되고 있는지 각각 설명하시오.[3점]

4. 다음 <수업상황 B>를 보고 물음에 답하시오.

명제 ㉤의 증명에 분석법과 종합법을 적용하는 과정을 제시하고, 명제를 증명할 때 분석법과 종합법을 함께 이용하는 활동의 수학교육적 의의를 1가지 쓰시오.[3점]

수학교육 (4면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

5. 다음은 김교사가 딘즈(Z. Diense)의 수학학습 이론을 반영하여 작성한 수업 계획의 일부이다.

학습목표	삼각형의 외심의 성질을 이해하고 설명할 수 있다
교수·학습 방법	협력학습
교실 환경	컴퓨터, 빔 프로젝트
준비물	삼각형 모양의 색종이, 자, 컴퍼스
교수·학습 활동 순서	(1) 종이접기를 이용하여 ‘삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다’는 것을 확인하게 한다. (2) 탐구형 소프트웨어를 이용하여 삼각형의 모양을 다양하게 변화시키면서 (1)에서 찾은 성질이 성립함을 보여 준다. (3) 지난 시간에 학습한 선분의 수직이등분선의 성질을 이용하여 다음 순서로 삼각형의 외심의 성질을 확인하게 한다. (4) 모둠 토론을 통하여 삼각형의 외심의 성질에 대하여 형식적인 정당화를 하게 한다. (5) 모둠별 토론 결과를 발표하게 한다.

위의 계획된 수업 상황을 딘즈의 수학적 다양성의 원리와 관련지어 설명하시오. 그리고 공학 도구를 수업에서 활용시 장점과 주의할 점을 각각 1가지 쓰시오.[3점]

수학교육 (4면 중 3 면)                     목원대학교 수학교육과

6. 다음 <자료 1>은 절대부등식을 증명을 지도하기 위해 작성한 교수·학습 계획서의 일부이다. <작성 방법>에 따라 서술하시오. [4점]

<작성방법>

◦ 준경험주의 관점에서 본 증명의 의미와 그 의미를 근거로 하여 위의 수업에서 할 수 있는 교사의 활동 1가지를 쓰시오.

◦사회적 구성주의 관점에서 본 증명의 의미와 그 의미를 근거로 하여 위의 수업에서 할 수 있는 교사의 활동 1가지를 쓰시오.

7. 다음은 학생들이 삼각뿔의 부피를 구하는 공식

[eqn: LEFT ( 밑면의넓이 RIGHT ) TIMES LEFT ( 높이 RIGHT ) TIMES {1} over {3}]임에 대해 이야기하는 과정이다.

[그림1]과 같이 삼각형이 직사각형에 내접해 있고 [그림2]와 같이 삼각뿔이 삼각기둥에 내접해 있는 경우를 생각해 보자.

[그림1]                        [그림2]

학생 1: 삼각형의 넓이를 구하는 공식이[eqn: (밑변의`길이) TIMES (높이) TIMES {1} over {2}]인 것은 잘 알고 있지?

학생 2: [그림1]의 삼각형을 보면, 화살표를 따라 위로 올라갈수록 그 폭이 점점 줄어드니까 삼각형의 넓이는 외접하는 직사각형의 넓이보다 당연히 작지? 마찬가지로 [그림2]의 삼각뿔을 보면 위로 올라갈수록 단면의 넓이가 줄어드니까 삼각뿔의 부피도 외접하는 삼각기둥의 부피보다 작은 것이 당연해.

학생 1: [그림1]과 [그림2]는 모두 삼각형과 관련이 있어. 그리고 [그림1]의 삼각형에는 밑변과 높이가 있는데, [그림2]의 삼각뿔에는 밑면과 높이가 있어. 삼각뿔의 부피는 외접하는 삼각기둥의 부피의 절반보다 더 작아 보이니까 [eqn: {1} over {3}]쯤 될 것 같아.

학생 2: 그러니까 삼각뿔의 부피를 구하는 공식은 삼각형의 넓이를 구하는 공식과 비슷하게 될 것 같아. 즉 삼각형의 넓이를 구하는 공식에서 ‘밑변의 길이’ 대신에 ‘밑면의 넓이’로 바꾸고 [eqn: {1} over {2}]을 [eqn: {1} over {3}]로 바꾸어서 [eqn: (밑면의`넓이) TIMES (높이) TIMES {1} over {3}]이 된다고 생각할 수 있겠지.

위의 학생의 대화에서 사용하는 추론의 유형과 위의 학생들의 대화에서 그 근거를 제시하시오. 교사가 위와 같은 추론을 통하여 학생들에게 특정 수학 내용을 지도하는 경우, 보완하기 위하여 취할 수 있는 지도 방법과 어떤 측면을 보완할 수 있는지 쓰시오.[4점]

수학교육 (4면 중 4 면)                     목원대학교 수학교육과

8. 다음은 중학교 2학년 학생들에게 피타고라스 정리를

지도하는 수업의 일부이다.

다음 그림은 모눈 한 칸의 크기가 1일 때, 세 개의 직각삼각형 ABC에 대하여 세 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: P,`Q,`R]를 그린 것이다. 물음에 답하여 보자.

(1) 위의 그림에서 각 정사각형의 넓이를 구하여

다음 표의 빈 칸에 써넣어 보자.

	[eqn: P]의 넓이	[eqn: Q]의 넓이	[eqn: R]의 넓이
[그림1]
[그림2]
[그림3]

(2) (1)에서 구한 [eqn: P]와 [eqn: Q]의 넓이의 합과 [eqn: R]의 넓이를

비교하여 보자.

(3) 세 정사각형의 넓이 사이의 관계를 이용하여 직각삼각형 ABC의 세 변의 길이 사이의 관계를 추측하여 보자.

(4) (3)에서 추측한 직각삼각형 ABC의 세 변의 길이 사이의 관계가 성립하는 이유를 논리적으로 설명해보자.

이 수업에서 피타고라스 정리의 의미를 이해하여 활용하는 데 중점을 두고 위의 활동으로 시작하였다. 반 힐레의 기하 학습 수준에 따라 (1)～(4)번 문제를 해결한 학생들의 특징과 그 근거를 각각 쓰시오.[3점]