2025학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(대수 영역)
1차 시험	2교시 대수	8문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼4】

1. 3차 행렬 [eqn: A = pmatrix{2&2&3 #0&3&2#0&3&4 }]일 때, 역행렬 [eqn: A^-1]을 행렬 [eqn: A`]에 관한 다항식 형태로 표현하시오. [2점]

2. 합동식 [eqn: x^2 -2x +3 ==0 (mod `` 77)]의 해의 개수를 구하시오. [2점]

3. 잉여군 [eqn: VecQ / VecZ ``]의 부분군 중에서 [eqn: VecZ _{n} `]과 동형인 부분군의 예를 하나만 제시하시오.(단, [eqn: n GEQ 2]) [2점]

4. 다항식 [eqn: f(x) = x^4 - x^2 -2 in VecQ [x]]에 대하여, 유리수체 [eqn: VecQ`] 위의 [eqn: f(x)]의 분해체 [eqn: K`]의 모든 부분체를 구하시오. [2점]

대수영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

서술형 【1∼4】

1. 실수체 [eqn: VecR]상의 벡터공간 [eqn: VecR^2`] 위에서 선형사상 [eqn: T:VecR^2``-> `VecR^2`]이 [eqn: T(x,y)=(2x-y , `-6x+y)]로 주어질 때, [eqn: T```^-1]를 대각화하는 [eqn: VecR ^{2}]의 기저를 구하시오.[4점]

2. 가우스 정수환 [eqn: VecZ[i] = \{ it a + bi : a,`b` in VecZ \}]는 유클리드노름 [eqn: N`]이

[eqn: N : VecZ* (= VecZ - \{0 \} )``->`` VecZ], [eqn: N(a+bi )= a^2 +b^2]

으로 주어진 유클리드 정역(ED)이다. 이 때, 잉여환 [eqn: VecZ[i]/<3>]은 체임을 증명하시오.[4점]

3. 군 [eqn: G``]의 위수가 [eqn: 28]이면 단순군이 아님을 증명하시오. [4점]

4. 유리수체 [eqn: VecQ] 위의 다항식 [eqn: f(x) = x^3 +2 x +2]의 한 근을 [eqn: theta]라 할 때 다음 물음에 답하시오.

대수영역 (2면 중 2 면)                     목원대학교 수학교육과

(1) [eqn: VecQ]의 대수적 확대체 [eqn: VecQ(theta)]를 집합으로 나타내시오. [2점]

(2) [eqn: theta]가 실근일 때, [eqn: ( theta +2) ^{-1}]을 구하고, 자기동형군 [eqn: G(VecQ(theta)/VecQ)]의 위수를 구하시오. [3점]