2025학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(해석 영역)
3차 시험	2교시 전공A	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

기입형 【1∼2】

1. [eqn: a`]가 양수일 때, 좌표평면의 영역 [eqn: D`]를

[eqn: D`=`lbrace(x,``y)`in`VecR^2``|`-1le xy le1,``a le x le a+1rbrace]

이라 하고, 이 영역의 경계를 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선을 [eqn: C`]라고 하자. 영역 [eqn: D`]의 넓이가 [eqn: 2`ln2025`]일 때, [eqn: a`]의 값과 선적분 [eqn: int_C{``(x-2y)`dx`+`(x-2y)`dy}`]의 값을 순서대로 구하시오. [2점]

2. 함수 [eqn: f:VecR`->`VecR`]이

[eqn: f(x)=cases{`x+x^{`4over3}`cos it{1}over{x}`,~~&x!=0#~~~~~``0`,&x`=0}]

이라고 하자. 함수 [eqn: f`]가 미분가능한 점을 모두 쓰고, 미분가능한 각각의 점에서 미분계수를 쓰시오. [2점]

서술형 【1∼5】

1. 확장 복소평면(extended complex plane) [eqn: VecC cup lbrace inf rbrace`]에서 정의된 일차분수변환(선형분수변환, linear fractional transformation, bilinear transformation) [eqn: T`]가

[eqn: T`(z)`= z+1 over z-1]

이고, [eqn: W=lbrace T`(z)`right|`|`z`|=1,``z in VecC rbrace`]라고 할 때, [eqn: W`]의 원소와 복소수 [eqn: 2+i] 사이의 거리의 최솟값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]

2. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f _{n} `:`[0,inf) `rarrow` VecR `]이

[eqn: f_n (x)= cases{- x over {lbrace n ln(123n)rbrace^2} + 1over{n^2 ln(123n)},``&0le x le \ln it(123n) #~&~ #~~~~~~~~~~~~0,&x>ln(123n)}]

일 때, 함수항 급수 [eqn: sum_{n=1}^inf f_{n}(x)]가 [eqn: [0,`inf)]에서 고른수렴(평등수렴, 균등수렴, uniform convergence)함을 보이시오. [4점]

해석영역 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

3. [eqn: 0le t le1]일 때, 좌표평면의 영역 [eqn: D(t)=left{(x,`y)`left|`x ge0,`y ge0,``x^2 +y^2 le1,``x+y ge t`right}right.] 와 함수 [eqn: f(x,`y)=root{|9x^2 +9y^2 -1|}]에 대하여 [eqn: g(t)=dint_D(t){f(x,`y)}dxdy]라 하자. [eqn: g(0)]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [5점] 4. 수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_n =int_0^1{(2-x^2 )^n dx] 일 때, [eqn: sum_{n=1}^1024 1over{(2n+3)a_n -4(n+1)a_n}]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]	해석영역 (2면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과 5. 복소수 [eqn: z=x+iy`]([eqn: x,``y`]는 실수)에 대한 함수 [eqn: f(z)=e^-x cosy+iv(x,``y)] (단, [eqn: v(x,``y)`]는 실숫값 함수) 가 정함수(전해석함수, entire function)이고 [eqn: f(0)=1000`]을 만족시킬 때, [eqn: f(z)]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [4점]