2025학년도 목원대학교 수학교육과 2차(9월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
1차 시험	4교시 기타	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. 수열 [eqn: lbrace a_n rbrace]이 [eqn: a_0 =a_1 =1,~a_n =`2~(`n ge2)]를 만족시킬 때, [eqn: lbrace a_{n} rbrace]의 생성함수(generating function) [eqn: f(x)`]를 구하시오. 또한, 수열 [eqn: lbrace b_{n} rbrace]이 [eqn: 0<x<1]에서 [eqn: root{f(x)-x-1}=sum_{n=0}^{`inf}b_n x^n]을 만족시킬 때, [eqn: b_5`]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점]

2. 자연수 집합 [eqn: VecN]과 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: A_n = \{ it k in VecN : k >= n \}]이라 하자. [eqn: \{it A_n : n in VecN \}]을 기저로 하는 [eqn: VecN]의 위상을 [eqn: TAU`]라 하고 [eqn: X = (VecN ,`` Tau)]라 하자. 함수 [eqn: f: VecR` ->` X`]를 [eqn: f(x) = |[x]| + 1`]로 정의하고 [eqn: VecR]의 위상 [eqn: Tau_1]을 [eqn: Tau_1 = \{it f^-1 (G) : G `in `Tau \}]이라 하자. 위상공간 [eqn: (VecR , `` Tau_1 )]에 대하여 다음 명제의 참, 거짓을 판별하고 그 이유를 간단히 서술하시오. [6점]

(1) [eqn: X`]는 연결공간이다.

(2) [eqn: (VecR ,` Tau_1 )]에서 수열 [eqn: left〈 {1} over {n} right〉]은 수렴하지 않는다.

(3) [eqn: (VecR ,` Tau_1 )]은 콤팩트(compact) 공간이 아니다.

3. 서로 독립인 확률변수 [eqn: X_1 ,``X_2 ,``cdots,``X_9]가 모두 표준정규분포 [eqn: N`(`0,``1)]을 따른다. 확률변수 [eqn: Y]를 [eqn: Y`=`sum_{i=1}^10`X_i]라고 하면 [eqn: \P(itY ge-4)= \P(itX_1 le a)]를 만족시키는 실수 [eqn: a]가 존재한다. 이때, [eqn: Y]의 분산 [eqn: \V(itY`)]와 [eqn: a]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 3점]

4. 두 확률변수 [eqn: X`]와 [eqn: Y`]의 결합확률밀도함수(joint probability density function)가

[eqn: f(`x,``y)= {cases{``1over root2pi e^{- 1over2 (x+y^2 )},~&x>0,~y>0#&#~~~~~~~`0,&그``외의``경우}}]

일때, [eqn: X`]의 주변확률밀도함수 [eqn: f_X`(x)]를 풀이 과정과 함께 쓰시오. [서술형, 4점]

※ 다음은 필요하면 사용할 수 있다.

[eqn: 1over root2pi int_-inf^inf{e^{- t^2over2}`}dt=1]

위상•미기•이산•확통 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오. ◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다. 5. (기입형) 유클리드 공간 [eqn: ℝ^3 `]에 놓인 정칙곡선 [eqn: bold{ alpha } (t) `=` left( t`, ` t `,` sin t right) `, ~ - pi over 2 < t < pi over 2]의 [eqn: t=0`]일 때, 곡률 [eqn: kappa (0)]과 비틀림 [eqn: tau(0)]의 합 [eqn: kappa (0) + tau (0)]을 구하시오. (2점) 6. [eqn: xy]-평면 위에 곡선 [eqn: y=x ^{2} +1]을 [eqn: x]축을 회전축으로 하여 회전시킨 곡면과 [eqn: left{ (x,y,z) in ℝ^3 vert z >0 right}]와의 교집합을 [eqn: M]이라 할 때 다음 물음에 답하시오. 6-1. [eqn: M`]의 좌표조각 [eqn: bold{rm x}`:` ℝ^2 `->` ℝ^3 `], [eqn: bold{rm x}( ℝ^2 ) `=` M `]을 하나 제시하시오. (기입형, 1점) 6-2. 점 [eqn: p=(0,0,1)]에서 [eqn: M`]의 법선의 식을 구하시오. (기입형, 1점) 6-3. 곡면 [eqn: M]과 평면 [eqn: P= LEFT { (x,y,z) IN ℝ ^{3} ` vert `x=y RIGHT }]의 교선을 [eqn: alpha `]라 하자. [eqn: M]의 점 [eqn: p=(0,0,1)]에서 교선 [eqn: alpha]의 곡면 [eqn: M]에 대한 법곡률의 절댓값을 구하시오. (서술형, 2점)	7. 임의의 양수 [eqn: epsilon]에 대하여 영역 [eqn: D_epsilon``]은 원점을 중심으로 하고 반지름 2인 구면 [eqn: S^2 (2)]과 집합 [eqn: left{ (x,y,z) in ℝ^3 `vert ` z>= epsilon right}]의 교집합이다. [eqn: D_epsilon `]의 경계 [eqn: partial D_epsilon `]에서 측지곡률의 합 [eqn: int _{partial D_epsilon } ^{} {kappa _{g}} ``ds]이라 할 때, 극한 [eqn: lim_{epsilon -> 0 } int _{partial D_epsilon } ^{} {kappa _{g}} ``ds]을 구하시오. (3점) 위상•미기•이산•확통 (2면 중 2 면) 목원대학교 수학교육과