2026학년도 목원대학교 수학교육과 1차(3월) 졸업시험
수 학(위상•미기•이산•확통 영역)
1차 시험	4교시 위상·미기·확통	7문항 25점	시험 시간 60 분

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

1. [eqn: |`x`|<1`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: {ax+b} over {(1-x) ^{3}} `= sum _{n=0} ^{INF } c_{n} `x ^{n}]일 때, [eqn: c_n`]을 구하시오.                             [서술형, 4점]

※ 다음 식은 필요하면 증명 없이 사용할 수 있다.

[eqn: |`x`|<1`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: {1} over {1-x} `= sum _{n=0} ^{INF }`x ^{n}`]이다.

2. 정수집합 [eqn: VecZ]에 대하여 [eqn: A_{ n}= \{k IN VecZ ``|``k GEQ n \}]이라 하자. [eqn: beta = \{A_{n} ``|``n IN VecZ \}]을 기저로 하는  [eqn: VecZ]의 위상을 [eqn: IMAG]라 하고 [eqn: X=(VecZ, IMAG)]라 두자. 이 때 다음 물음에 답하여라.

[서술형, 6점]

(1) [eqn: X]의 연결성분의 개수를 구하고 이유를 서술하시오.[3점]

(2) [eqn: a _{k} =k`]([eqn: k IN VecN`])일 때 점렬 [eqn: <a _{k} >]의 수렴 여부를 판정하   고 수렴한다면 수렴점을 모두 구하시오. [3점]

3. A 과수원에서 판매하는 수박의 무게 [eqn: X``]와 B 과수원에서 판매하는 수박의 무게 [eqn: Y``]는 각각 정규분포 [eqn: N(mu_1 ,``400^2 )], [eqn: N(mu_2 ,``300^2 )`]을 따르며 서로 독립이다. [eqn: X``+Y```]의 표준편차를 구하시오.

A 과수원에서 임의로 추출한 수박 [eqn: 121`]개의 무게의 표본평균이 [eqn: 2500`]이었고, B 과수원에서 임의로 추출한 수박 [eqn: 121`]개의 무게의 표본평균이 [eqn: 3000`]이었을 때, [eqn: mu_1 +mu_2`]에 대한 [eqn: 95%] 신뢰구간은 [eqn: (`5500-1.96times c`,```5500+1.96times c)`]이다. [eqn: c`]의 값을 구하시오. (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: Z`]에 대하여 [eqn: \P(`itZ le1.96)=0.975`]이다.)                  [서술형, 3점]

4. 어떤 공장에서 생산하는 제품의 수명 [eqn: X]의 확률밀도함수(probability density function)가 다음과 같다.

[eqn: f(x)=cases{4 overx^3`,&x>2 #x over4 `,~``&0le x le2_`^`#~0^`^`^`,&x<0^`^`^`}]

이 공장에서 생산하는 제품은 수명이 [eqn: 4] 이상인 경우 우수 제품으로 분류되고, [eqn: 4] 미만인 경우 일반 제품으로 분류된다. 임의로 [eqn: 4]개의 제품을 선택했을 때, 우수 제품과 일반 제품이 모두 두 개씩 포함되어 있을 확률을 풀이 과정과 함께 쓰시오.                                        [서술형, 4점]

위상•미기•이산•확통 (2면 중 1 면)                    목원대학교 수학교육과

◦ 문제지 전체 면수가 맞는지 확인하시오.

◦ 문항의 문항에는 배점이 표시되어 있습니다.

5.  유클리드 공간 [eqn: ℝ^3 `]에 놓인 곡면 [eqn: M``] 위의 점 [eqn: bold{\p}]에서 모든 단위접벡터(unit tangent vector)의 집합을 [eqn: S_p (M) `], 에서의 주벡터(principal vector) 중 하나를 [eqn: bold{\e}]라 하자. [eqn: S_p (M) `]에 속하는 단위접벡터 [eqn: bold{\v}]와 [eqn: bold{\e}]의 사잇각을 [eqn: theta `]라 할 때, [eqn: bold{\p}]에서 [eqn: bold{\v}] 방향으로의 법곡률(normal vector) [eqn: kappa_n (theta )]가

[eqn: int_0 ^pi kappa_n (theta) `` d theta ``=``0]

를 만족한다고 하자. 점 [eqn: bold{\p}]에서 곡면 [eqn: M``]의 가우스곡률(Gaussian curvature)이 [eqn: -1]일 때, [eqn: bold{\p}]에서 곡면 [eqn: M``]의 주곡률(principal curvature)의 값을 모두 구하시오. (단, 주벡터는 주곡률방향(주방향, principal direction)의 단위접벡터이다.)

[기입형, 2점]

6. 단위속력곡선(unit speed curve) □ [eqn: alpha ``:`` ℝ`->ℝ`]에 대하여 점 [eqn: alpha(t)]에서의 곡률(curvature)과 비틀림률(열률, 꼬임률, torsion)을 각각 [eqn: kappa_alpha (t) , ~ tau_alpha (t) `]라 할 때, □[eqn: kappa_alpha (t) `not= 0~(t in ℝ)]이고 함수 [eqn: f `:` ℝ`->`ℝ]는

[eqn: tau_alpha (t) = f(t) kappa_alpha (t) `], [eqn: f(1) = sqrt{3}], [eqn: f`' (1) = -2 `]

를 만족한다. 점 [eqn: alpha(t)]에서 곡선 [eqn: alpha `]의 단위접벡터장(unit tangent vector field) [eqn: T(t)]와 단위종법벡터장(unit binormal vector field) [eqn: B(t) `]에 대하여 곡선 [eqn: beta `:`ℝ`->` ℝ^3]를

[eqn: beta (t) `=` int_0 ^t left{ tau_alpha (s) T(s) + kappa_alpha (s) B(s) right} `ds]

로 정의하고, 이 곡선 위의 점 [eqn: beta (t) `]에서의 곡률을 [eqn: kappa_beta (t) `]라 하자. 이 때, 곡선 [eqn: beta]가 정칙곡선(정규곡선, regular curve)임을 보이고, [eqn: tau_alpha (1) kappa_beta (1) `]의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

[서술형, 3점]

7. 3차원 유클리드 공간 [eqn: ℝ^3]에서 곡면

[eqn: M ``:`` x^2 + y^2 + 4 z^2 `=`4, ~ -1 over 2 < z < 1 over 2]

의 가우스 곡률합(가우스 전곡률, total Gaussian curvature) [eqn: dint_M K `` dA `]를 풀이과정과 함께 구하시오. (단, [eqn: dA `]는 곡면 [eqn: M `]의 면적소(area element)이다.)               [서술형, 3점]

위상•미기•이산•확통 (2면 중 2 면)                    목원대학교 수학교육과